SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

uluruz, böylece istenen kalan 14 olarak bulunur.Örnek 3.14.99997 tamsayısının 1000 ile bölümünden kalanı, yani99997 ≡ x(mod1000)bağıntısını gerçekleyen x tamsayısını bulalım.Çözüm. (7,1000)=1 olduğundan Euler Teoremine göre≡ϕ (1000)7 1(mod1000)3 3 3dir. 1000 = 10 = 2 .5 olduğundan3 3 3 3 1 3 1ϕ(1000) = ϕ(10 ) = ϕ(2 ) ϕ(5 ) = 2 (1 − )5 (1 − ) = 4002 5ϕ (1000) 400bulunur ve böylece 7 ≡ 7 ≡ 1(mod1000) elde edilir. Diğer taraftan,dir. O haldebulunur. Şu haldeÖrnek 3.15.10.000 400 25 10.0007 ≡ (7 ) ≡ 1(mod1000) ⇒ 1000 | 7 − 1≡110.000 37 − 1 = k.10olacak şekilde bir k ∈ Z vardır. Böylece10.000 9999 3 37 = 7.7 = 1 + k.10 = 1+ 1000 + ( k − 1)101001 k −1 k −1⇒ 7 = + .10 = 143 + 107 7 79999⇒ 7 ≡ 143(mod1000)9999 3 399997 tamsayısının 1000 ile bölümünden kalan x = 143 tür.3 7 3 7...(((3 ) ) ) tamsayısının birler basamağındaki rakamı bulalım.Çözüm. ϕ (10) = 4 , (3,10) = 1 olduğundan Euler Teoremine göre,ϕ (10) 4 43 ≡ 1(mod10) ⇒ 3 ≡ 1(mod10) ⇒ 3 ≡ 1 + k.10,k ∈ Zyazabiliriz. Diğer taraftan4 33 = 3.3 = 1 + k.10 = 11 + ( k − 1).10 = 21 + ( k − 2).103 ( k − 2).10k − 2⇒ 3 = 7 + , ( 3 / | 10 ⇒ 3 | k − 2 ⇒ ∈ Z )333 3 7 7⇒ 3 ≡ 7(mod10) ⇒ (3 ) ≡ 7 (mod10)elde ederiz. Ayrıca (7,10) = 1 olduğundan Euler Teoremine göre,8 4≡ ⇒ ≡ ( )ϕ (10) 47 1(mod10) 7 1(mod10)2⇒ 7 ≡ 7 ≡ 1(mod10)olduğundan8 77 = 7 .7 = 1+ 10t= 21 + ( t − 2)10 , t ∈ Zyazabiliriz. Buradan7 21 ( t − 2).10t − 27 = + , ( 7 / | 10 ⇒ 7 | t − 2 ⇒ ∈ Z )7 777 3 7 7⇒ 7 ≡ 3(mod10) ⇒ (3 ) ≡ 7 ≡ 3(mod10)≡134