SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olması σ ( h) = 0 veya σ ( k) = 0 olmasını gerektirir. Halbuki, der h > 0 veααder m > αder k olduğundan bu mümkün değildir. Çünkü dereceleri m nın αderecesinden küçük olduğu halde σ ( h) = 0 veya σ ( k) = 0 olamaz. Şuhalde m αindirgenemez olmak zorundadır.α2) f ∈ I αalalım. f = q.mα+ r , der r < der m αolacak şekilde q , r ∈ P( F)polinomları bulunabilir. Halbuki teoremin hipotezine göre0 = σα ( f ) = σα ( q) σα ( mα ) + σα( r)eşitliğindenσ ( r) = 0αve böylece r ∈ elde ederiz. Bu bir çelişmedir, çünkü en küçük dereceliI αpolinomun m αolduğunu kabul etmiştik. Ayrıca, der r < der olduğundanr = 0 buluruz. Dolayısıyla f = q.m αolup I α, m αnın katlarından ibarettir.3) m ≠ m ' olmak üzere hem m αhem de m ' α, I αyı gersin. Bu durumdaααm α, I αyı gerdiğindenm 'yazabiliriz. Bu iki ifadeden mαααm α= λmve m ' α, I αyı gerdiğinden mα= µλmelde ederiz. O halde,αder m = der( µλ) + der mααα= µ m 've buradan der( µλ ) = 0 veya der λ + der µ = 0 buluruz, yanider λ = der µ = 0 dır. Bu ise λ ve µ polinomlarının sabit olması demektir.Diğer taraftan m αindirgenemez bir polinom olduğundan λ = µ = 1 eldeederiz, böylece mα= m'dır.αTeorem 14.5. E cismi, F nin bir genişlemesi ve α ∈ E olsun. F cismifüzerinde şeklindeki bütün rasyonel polinomların kümesi ( )g R F olmaküzere F( α ) ≅ R( F)izomorfizması vardır, üstelik F( α ) = F[ α]ve( F( α ) : F) = der m αdır. ( Burada m αyukarıda tanımlandığı gibidir.)⎛ f ⎞ σα( f )Kanıt. ϕ : R( F) → R( F), ϕ ⎜ ⎟ = dönüşümünü ve yukarıdaki gibi⎝ g ⎠ σα( g)tanımlanan I αkümesini göz önüne alalım. I αkümesinin tanımından g ≠ 0olduğundan σ ( g) ≠ 0 dır. ϕ nin bir izomorfizma tanımlayacağı kolaycaαgösterilebilir. O halde F( α ) ≅ R( F)izomorfizması vardır. F( α ) = F[ α]olduğunu kanıtlamak için β ∈ F( α)olmak üzereσα( f )β = şeklindeσ ( g)verilsin. σα( g) ≠ 0 ise g ∉ I αdır. mα∈ Iαelemanını göz önüne alalım. m ααα237