SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

p bir asal sayı ve α da positif bir tamsayı olmak üzere ϕ ( p α) nındeğerini bulalım. x, 1 x p α ≤ ≤ koşulunu gerçekleyen bir tamsayı olsun.α( , ) 1 ( , )olduğu kolayca gösterilebilir. ( x,p)x p > ⇔ x p = p= p den p | x bulunur. Buradan şusonuç elde edilir: 1 x p α ≤ ≤ koşulunu gerçekleyeyen ve p α ile aralarında asalolmayan sayılar p ile bölünen sayılardır. Tersine ( x,p)dir. p x ise x= pk olacak şekilde bir k pozitif tamsayısı vardır.α α α −11 ≤ x ≤ p ⇒ 1 ≤ pk ≤ p ⇒ 1 ≤ k ≤ pbulunur. Şu halde 1 x p αolup bunların sayısıaralarında asaldır. Böylece≤ ≤ ve ( )1p α −= p ise ( x, p α ) > 1x, p = 1 koşullarını sağlayan sayılarα-11 p,2 p,3 p,..., p pdir. Geriye kalanα α α−1 1pαα −1ϕ ( p ) = p − p = p(1 − )pbulunur. Bu eşitliği kullanarakα 11 α 1 12αkϕ ( n) = p1 (1 − ). p2(1 − )... pk(1 − )p p p1 2α1 α 1 1 12 αk= p1 p2... pk(1 − )(1 − )...(1 − )p p p1= n∏(1 − )pp nsonucu elde edilir ve ispat tamamlanır.1 2− p tane sayı , p α ileÖrnek 3.8. n = 642 için ϕ ( n)yi bulalım.Çözüm. 642 = 2.3.107 olup, bu çarpanların hepsi asaldır. Şu halde1 1 1ϕ(642) = ϕ(2.3.107) = 2.3.107.(1 − ).(1 − ).(1 − )2 3 1071 2 106= 2.3.107. . . = 2122 3 107bulunur.kk30