SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

p−1 p−1a ≡ 1(mod p) ⇒ a −1 ≡ 0(mod p)dir ve p-1 bir çift sayı olduğundanp−1 p−12 2( a − 1)( a + 1) ≡ 0(mod p)bulunur. Buradan Teorem 1.7. ye göre p nin, bu iki çarpandan sadece birtanesini böldüğü sonucu elde edilir. Eğer p, iki çarpanın her ikisini de bölersep−1 p−1⎡⎤2 2p | ⎢−( a − 1) + ( a + 1) ⎥ = 2⎣⎦bulunur ki, bu p nin tek asal sayı oluşu ile çelişir. Şu halde, yaveyadir.p−1p−1a2 ≡ 1(mod p )p−1a2 ≡ 1(mod p ) ise 1) dena2 ≡ − 1(mod p )≡ (mod ) kongrüansı çözümlüdür.2x a pDolayısıyla a, p modülüne göre bir kuadratik rezidüdür.ise p ≠ 2 olduğundanp−1p−1a2 ≡ − 1(mod p )a2 ≡ − 1 ≢ 1(mod p ) olur ki, bu durumda 2) den dolayı2x ≡ a(mod p)kongrüansının çözümü yoktur, yani a, p modülüne göre birkuadratik non-rezidüdür.Örnek 6.2. 3, 13 modülüne göre bir kuadratik rezidü müdür, yani2x ≡ 3 mod13 kongrüansı çözümlü müdür ?( )12(2,12) 6 3 3Çözüm. 3 ≡ 3 ≡ 3 .3 ≡ ( + 1)( + 1) ≡ 1(mod13) olduğundan≡1 ≡1kongrüansı çözümlüdür. Şu halde 3, 13 modülüne görex ≡ 4(mod13) bir çözümdür.2x ≡3(mod13)bir KR dür veUyarı : a,b ∈Z olsun. a, m modülüne göre bir KR ve a ≡ b(mod m)ise b dem modülüne göre bir KR dür. Dolayısıyla, m modülüne göre KR leri sayarkenp −1p −1birbirine kongrü olmayanlar alınmalıdır. mod p ; tane KR ve22tane de KNR vardır.Örnek 6.3. 7 modülüne göre bütün kuadratik rezidü ve kuadratik nonrezidüleribulalım.222Çözüm. 1 ≡ 1(mod 7) , 2 ≡ 4(mod 7) , 3 = 9 ≡ 2(mod 7) ,69