SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 3.2. a,b ∈ Z ve m > 0 bir pozitif tamsayı olmak üzere a ≡ b(mod m)olması için gerek ve yeter koşul a ile b nin m ile bölündüğü zaman aynı kalanıvermesidir.Çözüm. a ≡ b(mod m), m > 0 olsun. a ile b yi, m ile kalanlı olarak bölelim.Bu takdirde m, q, m′ , q′∈ Z olmak üzerea = mq + r , b = mq ' + r ' , 0 ≤ r, r ' < m(3.1)yazabiliriz. Kalanların eşit yani, r = r ' olduğunu göstermeliyiz. (3.1) dena − b = mq + r − ( mq ' + r ') = m( q − q ') + ( r − r ')bulunur. a ≡ b(mod m)olduğundan m | a − b dir.m | ( a − b)⎫⎬ ⇒ m | ( r − r′) ,m | m( q − q′) ⎭üstelik r − r′< m olduğundan buradan r − r′ = 0 , yani r = r ' elde ederiz.Tersine a = mq + r , b = mq ' + r ' , 0 ≤ r, r ' < m ve r = r ' ise bu takdirde,a − b = mq + r − ( mq ' + r ') = m ( q − q ') + ( r− r ') = m ( q − q ')olacağından m | a − b , yani a ≡ b( mod m)elde edilir.Örnek 3.3. a, b,m ∈ Z ; m > 0 ve a ≡ b(mod m)ise ( a, m) = ( b, m)dir.Çözüm. ( a, m)= d1, ( b, m)= d2olsun. a ≡ b(mod m)olduğundan a − b = muveya b = a − mu olacak şekilde bir u ∈ Z tamsayısı vardır.= 0dyani d1d ( b, m)d⎧ ⎪d | m ⇒ d | mu⎫1 11= ( a, m)⇒ ⎨⎬ ⇒d1| a⎩⎪| b dir. Bu sonuçla d1d d⎭d1 | ( a − mu),= b| m olduğu birlikte dikkate alınırsa1| =2veya1|2elde ederiz. Benzer şekilde d2 | d1olduğu dagösterilebilir. Böyleced > 10, d > 20 ⎫ ⎬ ⇒ d = 1d2d1 | d2,d2 | d1⎭elde edilir.Not: Örnek 3.3. , Teorem 1.8. kullanılarak da çözülebilir.Örnek 3.4. a,b ∈ Z , p bir asal sayı vep | ( a + b) den en az birisi doğrudur.2a ≡ b 2 (mod p)ise p a b)| ( − ve24