SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

∑ ∑ baab = a b ( e e ) = b a ( e e ) =i j i j j i j ii, ji,jelde ederiz. Benzer şekilde eğer baz vektörlerin çarpımı birleşmeli ise budurumda A da ki çarpma işlemi de genel olarak birleşmeli olur. Diğer taraftanV bir vektör uzayı; { e1 , e2,..., en}, V nin bir bazı ve eij( i, j = 1, 2,..., n)ler V ninseçilen keyfi vektörleri ise bu durumda V üstündeki çarpma işlemini a,b ∈ Aolmak üzereab = ∑ aibjeiji,jkuralı sayesinde tanımlayabiliriz. Böylece V, bir cebir yapısına sahip olacakır.Örnek 16.6. C kompleks sayılar cisminin, R reel sayılar cismi üzerinde bircebir olduğunu, C deki çarpma işlemini C nin { 1,i } şeklindeki bazının işlemtablosunuşeklinde tanımlamak suretiyle elde edebiliriz. Üstelik C deki çarpmaişleminin değişmeli ve birleşmeli olduğu, bazdaki 1 ve i elemanlarınınçarpımlarının değişmeli ve birleşmeli oluşundan açıktır.Örnek 16.7. { , , }e e e ,1 2 3x 1 i1 1 ii i -13E vektör uzayının bir ortonormal bazı olsun.deki vektörel çarpma işlemi, baz vektörlerinin vektörel çarpım tablosu,3aşağıdaki şekilde tanımlanırsa E bir cebir yapısına sahip olur.x e1e2e3e1 0 e3− e2e2− e30 e1e3e2e1− 03E3Bu çarpma işlemi değişmeli değildir ve ∀ a, b,c ∈ E için Jacobi Özdeşliğiadını verdiğimiz( a × b) × c + ( b× c) × a + ( c × a) × b = 0şeklindeki denklemi gerçekler. Bunu kanıtlamak için sadece baz vektörler içinbu denklemin sağlandığını göstermek yeterlidir.253