SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Eğer ∀g ∈ G için( )−1 −1 −1 −1g H g g Hg HgHggHg= ⊆ olacağından− 1⊆ H ise o taktirde−1∀g∈ G içinH ⊆ gHg −1 buluruz. Böylece,− 1= H dır. O halde H alt grubunun bir normal alt grup olduğunugöstermek için ∀g ∈ G,∀h ∈ H içinyeterlidir.ghg− 1∈ H olduğunu göstermekÖrnek 8.5. ( Z , + ) grubunun, ( R , + ) grubunun bir normal alt grubu olduğunugösterelim. Bunun için,∀x∈ Z için x + Z = Z + xolduğunu göstermeliyiz.x + Z = x + z | z ∈ Z = Z + x{ }olduğu Z nin toplama işlemine göre değişmeli bir grup olmasından açıktır.Teorem 8.9. Değişmeli bir grubun herhangi bir alt grubu normal alt gruptur.Kanıt. G değişmeli bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. ∀g ∈ G,∀h ∈ Hiçin−1 −1ghg gg h h HÖrnek 8.6. { , }= = ∈ olduğundan H, G nin bir normal alt grubu olur.ρ0µ1kümesi,3γ ün bir normal alt grubu değildir.Tanım 8.5. G bir grup; H ve K , G nin iki alt grubu olsun. Herhangi bir a ∈ G1için aKa− = H ise H ve K ya eşlenik iki alt gruptur deriz.Böylece bir önceki örnekte geçen { ρ , µ } grubu ile { , }eşlenik iki alt grubudur.0 1ρ0µ3,3γ ünTanım 8.6. G bir grup ve N, G nin bir normal alt grubu olsun. G deki işlemletanımlanan N kalan sınıflarının grubuna G nin N normal alt grubuna görebölüm grubu adı verilir ve G N şeklinde gösterilir.Örnek 8.7. G bir grup veH j⊲ G ( j = 1,..., k ; k ≥ 2 ) isek∩j=1Hj⊲ Golduğunu gösterelim.Çözüm. J = { 1,2,..., k}( k ≥ 2 ) indeks kümesi ∩ H j = H * olsun. H*⊲ Golduğunu göstermeliyiz. H*≤ G dir. Çünkü bir grupta sonlu veya sonsuzsayıda birtakım alt grupların arakesiti de yine bir alt gruptur. ∀g∈ G,∀h ∈ H * içinj∈J1ghg − ∈ H * olup olmadığını araştıralım.166