SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

veya∞∞⎡ k −1⎤ ⎡ k ⎤+ j =i⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ p ⎥⎦∑ ∑ii= 1pi=1∞∞⎡ k ⎤ ⎡ k −1⎤− = ji⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ p ⎥⎦∑ ∑ii= 1pi=1olduğunu göstermek yeter. Gerçekten bir i ∈ Z için+i⎡ k ⎤ ⎡ k −1⎤⎪⎧ 1 , p | k isei − i = ⎨i⎢⎣ p ⎥⎦ ⎢⎣ p ⎥⎦ ⎪⎩0 , p | k iseolduğu kolayca gösterilebilir. Öte yandan i = 1, 2, 3,.., j içiniiçin p / | k dir. Şu haldebulunur ve ispat tamamlanır.⎡ k ⎤ ⎡ k −1⎤ ⎛ ⎡ k ⎤ ⎡ k −1⎤⎞− = − = j⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎠∞ ∞ ∞∑ ∑ ∑i i i ii= 1pi= 1pi=1p pip| k ve i > jNot: n bir pozitif tamsayı ve p bir asal sayı olsun. e , p nin n yi bölen enebüyük kuvveti ise bu durumu p || n şeklinde göstermiştik.Örnek 8.1. 7 nin 1000! i bölen en büyük kuvvetini bulalım.Çözüm. 7 ||1000e∞i=1ise⎡1000 ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎡1000⎤e = ∑ ⎢ ...i ⎥ = ⎢7⎥ + ⎢ + + +2 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 4 ⎥⎣ 7 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 7 ⎦ ⎣ 7 ⎦ ⎣ 7 ⎦⎡1000 ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎡1000⎤= ⎢ ...7⎥ + ⎢ + + +49⎥ ⎢243⎥ ⎢1701⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦bulunur.= 142 + 20 + 2 = 164Örnek 8.2. 125! in kanonik gösterilişini bulalım.Çözüm. 125! i bölen bütün asal sayıların en büyük kuvvetlerini bulalım.11 125 12 < < olduğundan 125! de, 11 den büyük asal sayıların sadecekendilerinden ve bu asal sayıların katlarından gelen kuvvetleri bulunur. Şimdi99