SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

G= a olduğundan uygun bir m ≥ 0 tam sayısı içinm( b) ( a ) ( ( a)) m= = , yani ′ ( ′) mϕ ϕ ϕdür.Örnek 6.7. G = = { }bbm= a dir. Buradan da= a sonucu çıkar. Şu halde G′ = a′Z120,1,2,...,11 grubunu ve bu grubun 1 üretecini gözönüne alalım. n = 12 dir. b = 3∈ G olsun. 3 = 3.1 , n = 12 , s = 3 içind = e. b. o. b.(12,3) = 3 olduğundan < 3 >≤ G devirli alt grubunun mertebesin 124d = 3= bulunur. Yani, G = Z12nin 3 tarafından üretilen devirli altgrubunun mertebesi 4 tür. Bu alt grup < 3 >= { 0,3,6,9}dur. Benzer şekilde,Z nin 8 tarafından üretilen alt grubu, d = e. b. o. b.(12,8) = 4 ve12n 123d = 4=olduğundan 3 elemanlıdır ve < 8 >= { 0, 4,8}şeklindedir. Aynı şekilde, Z12n 12nin 5 tarafından üretilen alt grubu, d = e. b. o. b.(12,5) = 1 ve12d = 1=olduğundan 12 elemanlıdır ve < 5 >= Z12şeklindedir. Buradan Z12nin 1 ve 5ten başka diğer üreteçlerinin 7 ve 11 olduğunu görürüz. Çünkü,e. b. o. b.(12,7) = e. b. o. b.(12,11) = 1 dir.Sonuç: G, n. mertebeden bir devirli grup ve a bu grubun bir üreteci ise G nindiğer üreteçleri n ile aralarında asal olan, yani e. b. o. b.( n, r ) = 1 koşulunusağlayan r ler tarafından tanımlananra şeklindeki elemanlardır.Örnek 6.8. Devirli bir grup olan Z18in bütün alt grupları da devirlidir. Sonuç6.1. göre Z18in üreteçleri 1, 5, 7, 11, 13, 17 şeklindedir. e. b. o. b .(18,2) = 2 ve1892 = olduğundan < 2 >= { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 } dır. 6 ∈< 2 > ninürettiği alt grup { }0, 6, 12 olup, 12 de bu grubun bir üretecidir. Böylece 0, 1,2, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17 elemanlarının ürettiği grupları elde< 3 >= 0, 3, 6, 9, 12, 15 grubunun biretmiş olduk. Geriye 3, 9, 15 kaldı. { }diğer üreteci 15 tir ve bu grup 6. mertebedendir. 15 = 5.3 yazılabileceğinden ve. . . .(6,5) 1< 9 >= 0, 9e b o b = olduğundan aynı grup 15 tarafından da üretilir. { }grubu da 3 < > grubunun alt grubu olup aşağıdaki alt gruplar şemasıverilebilir.145