SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

deki vektör toplamı işlemi olarak düşünebiliriz. E deki sayı-vektör çarpımıişlemini ise aşağıdaki gibi tanımlayalım:Herhangi iki x ∈ E,a ∈ F elemanı için ax ∈ E ise bu eşleme sayı-vektörçarpımını tanımlasın. Bu iki işlemle E kümesi, F cismi üzerinde bir vektöruzayı yapısı oluşturur. Gerçekten,1) x( a + b)= xa + xb ∈ E ,2) ( x + y)a = xa + ya ∈ E ,3) a( bx) = ( ab)x ∈ E ,4) xe = xkoşullarının sağlandığı açıktır.Tanım 14.2. E nin F üzerindeki derecesi ( E : F) = boy FE şeklindetanımlanır. O halde ( E, i ) nin i( F ) üzerindeki derecesi, E nin i( F ) üzerindekiboyutundan ibarettir. Eğer bu derece sırasıyla sonlu veya sonsuz ise E desırasıyla sonlu veya sonsuz boyutlu olarak adlandırılır.Teorem 14.1. E, F nin bir genişlemesi ve K herhangi bir cisim olmak üzereτ : E → Kbir bire-bir homomorfizma ise bu durumda( E : F) = ( τ ( E) : τ ( F))dir.Kanıt. { x1 , x2,..., xr}, E nin elemanlarının lineer bağımsız bir kümesi olsun.τ τ τ kümesinin de lineer bağımsız olduğunuBu durumda { ( ), ( ),..., ( )}x1 x2x rgöstermeliyiz.τ ( a1 ) τ ( x1 ) + τ ( a2 ) τ ( x2) + ... + τ ( ar) τ ( xr) = 0lineer birleşimini yazalım. τ bir homomorfizma olduğundanτ ( a x ) + τ ( a x ) + ... + τ ( a x ) = 0dır. Bu ise { }1 1 2 2x1 , x2,..., xrkümesi lineer bağımsız bir küme olduğundana1 = a2 = ... = a r= 0olmasını gerektirir. O halde τ nun bire-bir olması nedeniyleτ ( a1 ) = τ ( a2) = ... = τ ( a r) = 0bulunur. Bu ise { τ ( x1 ), τ ( x2),..., τ ( x r)}kümesinin de lineer bağımsız olduğunugösterir.Eğer ( E : F ) = ∞ ise bu durumda ( τ ( E) : τ ( F))= ∞ dur. O halde( E : F)= r < ∞ olması halini ele alalım. Bu durumda E yi geren bir{ 1, 2,..., r}{ ( ), ( ),..., ( )}x x x bazı mevcuttur. Bu küme lineer bağımsız olduğundanx1 x2x rτ τ τ kümesi de lineer bağımsız bir kümedir. O halde burr233