SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

i j j−ia = a ⇒ a = ebulunur. Halbuki, i < j < n olduğundan 0 < j − i < n dir ve bu nedenlej ia− ≠ e dir, bu iseai j≠ a olduğunu gösterir. Böylece,ai j= a varsayımının yanlış yani, 0 i j n1 2 1{ , ,..., n − n, }G = a a a a< < < içinidir ve e ∈ G olduğundan 1 ≤ i ≤ n olacak biçimde bir i için a = e dir. Şuin 0halde i < n için a ≠ e olduğundan a = a = e olmak zorundadır. Böylece,< a >= G grubunun da n. mertebeden olduğunu kanıtlamış oluruz.Örnek 6.2. Z4grubu, 1 ve 3 elemanları tarafından üretilen devirli bir gruptur,yani;Z4=< 1 >=< 3 >dir. Ancak, V-Klein 4 grubu devirli bir grup değildir. Örnek 3.2. de verilen bugrupların işlem tablosu yardımıyla Z4grubu için,1+ 1 = 2 , 2 + 1 = 3 , 3+ 1 = 0olduğundan Z4=< 1 > olduğu açıktır, benzer şekilde,3+ 3 = 2 , 3+ 2 = 1 , 3+ 1 = 0olduğundan, Z4=< 3 > olduğu görülür. Aynı durum, V-Klein 4 grubu içingerçekleşmez, çünkü234 3e ∗ e = e , a = a ∗ a = e , a = e∗ a = a , a = a ∗ a = a ∗ a = edır.Örnek 6.3. ( Z, + ) grubu, üreteçleri +1 ve -1 olan devirli bir gruptur.1+ 0 = 1, 1+ 1 = 2 , 2 + 1 = 3 , ... , n + 1 = n + 1, ...şeklinde devam ederek 1 in ve benzer şekilde -1 in, Z toplamsal grubunuüreteceği açıktır.Örnek 6.4. ( Z , + ) grubunun, 3 tarafından üretilen devirli alt grubunu eldeedelim.dir , o haldevebulunur.< 3 >= {..., −9, −6, − 3,0,3,6,9,... } ,< 3 >= 3. Z ≤ Z< 6 >= {..., −18 −12, − 6,0,6,12,18,... }< 6 >= 6Z ≤ 3Z ≤ ZTeorem 6.3. Devirli her grup değişmelidir.142