SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

5. BÖLÜM. GRUP İZOMORFİZMALARITanım 5.1. G ve G′ iki grup olsun. G den G′ ye bire-bir, örten ve ∀ x , y ∈ Giçinφ( xy) = φ( x) φ( y)koşulunu sağlayan φ : G → G ' dönüşümüne bir grup izomorfizması adı verilir.Teorem 5.1. φ : G → G ' bir grup izomorfizması olsun. e ve e′ sırasıyla G veG′ nün birim elemanları olmak üzere,−1 −11) φ ( e) = e', 2) ∀a ∈ G için φ( a ) = ( φ( a))dir.Kanıt. 1) x ' ∈ G ' olsun. φ , bir izomorfizma olduğundan örtendir. O haldeφ ( x) = x ' olacak şekilde bir x ∈ G bulabiliriz. Böylece,x ' e' = x ' = φ( x) = φ( xe) = φ( x) φ( e) = x ' φ( e)yazabiliriz. Benzer şekilde,e' x ' = x ' = φ( x) = φ( ex) = φ( e) φ( x) = φ( e) x 'olur. Böylece φ ( e)= e'elde ederiz.12) G bir grup olduğundan ∀a ∈ G için a− ∈ G vardır. O halde,1 1e' φ( e) φ( aa −−= = ) = φ( a) φ( a )yazabiliriz. Benzer şekilde,1 1e' φ( e) φ( a −−= = a) = φ( a ) φ( a)−1 −1yazılabileceğinden φ( a ) = ( φ( a))sonucunu elde ederiz.+xÖrnek 5.1. φ : ( R, + ) → ( R ,.) , φ ( x)= e dönüşümü bir grup izomorfizmasıdır.Gerçekten;x y∀x,y ∈ R için φ( x) = φ( y)⇒ e = e ⇒ x = yolduğundan φ bire-birdir.+ln x∀x∈ R için φ (ln x)= e = xolduğundan φ örtendir. Diğer taraftan,∀x,y ∈ R için ( ) x +φ x + y = e y = e x . e y = φ( x). φ( y)olduğundan φ bir grup izomorfizmasıdır.Teorem 5.2. Mertebesi sonsuz olan devirli bir G grubu, ( Z , + ) grubunaizomorftur.Kanıt. Devirli grup kavramı için bir sonraki bölüme bakabiliriz. Şimdi G ninnG = a | n ∈ Z olsun.bir üreteci a olmak üzere { }136