SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olmak üzere { 1, 2, 3, 4, 5} { 0, 1, 2, 3, 4}a a a a a = elde ederiz. Bu bir tam kalansistemi olduğundan , örneğin 1 kümesine ait olan 5k 1+ 1 şeklinde bir elemandiğer bir kümedeki bir tamsayıya eşdeğer olamaz. Gerçekten, eğer bu eleman2 kümesine ait bir 5k 2+ 2 elemanına eşdeğer olsaydı o zaman5k + 1 ≡ 5k + 2(mod5) ⇒ 5 | [(5k + 1) − (5k+ 2)]1 2 1 2⇒ 5 | ( 5k− 5k− 1)1 2yazılabilir ve ayrıca 5 | ( 5k1 − 5 k2) olduğundan buradan 5 | 1 bulunurdu ki, bumümkün değildir.Z de alınan herhangi bir tamsayı ancak ve ancak bir tek kalan sınıfına aitolabilir. Böylece, Z tamsayılar kümesi ikişer ikişer ayrık ve birleşimleri Zkümesi olan ayrık denklik sınıflarına parçalanmış olmaktadır. O halde i ≠ jmiçin ai∩ aj= ∅ , ∪ ai= Z yazabiliriz.i=1Örnek 3.7. {1,2, − 2,5,7,8,9} kümesinin 7 modülüne göre bir tam kalansistemi olup olmadığını belirleyelim.Çözüm. 8 ≡ 1(mod 7) , 9 ≡ 2(mod 7) , −2 ≡ 5(mod 7) olduğundan bukümenin herhangi iki elemanı 7 modülüne göre birbirine eşdeğerdir ayrıca 3,4 ve 6 bu sınıflardan hiçbirisine ait olmadığından verilen küme bir tam kalansistemi oluşturamaz.Teorem 3.5. { a1 , a2,..., am}kümesi, m modülüne göre bir tam kalan sistemi ve( k, m ) = 1 ise bu takdirde { ka1 , ka2,..., kam}kümesi de m modülüne göre birtam kalan sistemi oluşturur.Kanıt. 1) i ≠ j için ka ≡ ka (mod m)dir. Çünkü eğer i ≠ j içinijka ≡ ka (mod m)olsa: ( k, m ) = 1 olduğundan a ≡ a (mod m)olurdu.ij2) i = 1, 2,..., m için kailer m modülüne göre eşdeğer olmadıklarındanherbiri Zmin farklı kalan sınıfına aittir. m modülüne göre Z nin m tanekalan sınıfı olduğundan bunların herbiri bu kalan sınıflarından birisine aitolacaktır. Yani, ∀a∈ Z için 0 ≤ r ≤ m − 1 olmak üzere a ∈ r olacak şekildebir r kalan sınıfı vardır. Böylece kai∈ r ise o taktirde a ≡ ka (mod )0im dir.0Tanım 3.3. Elemanları ( sayıları ) m ile aralarında asal olan bir kalan sınıfınam modülüne göre asal kalan sınıfı denir.ij26