SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

( x, y,1 ) ∗ ( a, b,1 ) = ( a, b,1 ) ⇒ ( x + a, y + b,1 ) = ( a, b,1)⎧x + a = a ⇒ x = 0∈R⇒ ⎨⎩y + b = b ⇒ y = 0 ∈ R⇒ ( x, y,1) = ( 0,0,1 ) ∈G.v) Her ( a, b,1)∈ G ye karşılık ( a , b ,1) ( a, b,1) ( 0,0,1)bir ( a′ , b′ ,1)∈ G vardır:( a′ , b′ ,1) ∗ ( a, b,1) = ( 0,0,1 ) ⇒ ( a′ + a, b′+ b,1) = ( 0,0,1)′ ′ ∗ = olacak şekilde⎧a′ + a = 0 ⇒ a′= −a∈ R⇒ ⎨⎩b ′ + b = 0 ⇒ b ′ = − b ∈ R⇒ a , b ,1 = −a, −b,1 ∈ G.( ′ ′ ) ( )Şu halde ( G,∗ ) bir komütatif gruptur. 1 = G ( 0,0,1)ve ( ) −a, b,1 1= ( − a, − b,1)dir.+abÖrnek 2.3. Q nın a ∗ b = şeklinde tanımlanan “ ∗ ” işlemine göre ne tür3bir cebirsel yapı olduğunu araştıralım.+ab +Çözüm. ı) Her a,b ∈ Q için a ∗ b = ∈ Q dır. Çünkü3aba > 0, b > 0 ⇒ ab > 0 ⇒ > 03dır.ıı) Her a, b,colduğundan+∈ Q için ( a b) c a ( b c)∗ ∗ = ∗ ∗ dir. Çünküab cab( )( )3 ab cA = a ∗b ∗ c = ∗ c = = ,3 3 9bcabc 3 a ( bc)B = a ∗( b∗ c)= a ∗ = =3 3 9+Q nın “ . ” ya göre asosyatifliğinden A = B bulunur.+ab baııı) Her a,b ∈ Q için a ∗ b = = = b ∗ a dir. Çünkü3 3ab bagöre komütatifliğinden dolayı = dir.3 3+ıv) Her a ∈ Q için x ∗ a = a olacak şekilde bir x ∈ Q vardır:++Q nın “ . ” ya113