SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

+Örnek 2.2. Bir n ∈ Z tamsayısı için 2 n + 1 bir asal sayı ise n tamsayısının 2nin bir kuvveti şeklinde olduğunu gösterelim..Çözüm. n nin 2 nin bir kuvveti olmadığını varsayalım. Bu taktirde 1 denkfarklı bir t tek tamsayısı için n = 2 . t yazabiliriz. Buna göre,n 2 . 2 2 ( 1) 2 ( 2)2 1 2 k t1 (2 k 1)(2 k t −2 k t −+ = + = + − + ... + 1)yazılabilir. Yukarıdaki eşitliğin sağ yanındaki her bir çarpan bir tamsayı vek2 2 .1 < 2 k + 1 < 2 k t + 1 = 2 n + 12nolduğundan (2 + 1) | (2 + 1) elde ederiz ki, bu 2 n + 1 in bir asal sayı olduğuhipotezi ile çelişir. O halde varsayımımız yanlıştır, yani n, 2 nin bir kuvvetiolmak zorundadır.+Örnek 2.3. 3 ten büyük her asal sayı q ∈ Z olmak üzere ya 6q + 1 veya6q − 1 formundadır.Çözüm. p, 3 ten büyük bir asal sayı olsun. Bölme Algoritmasına göre q ve rpozitif tamsayılar olmak üzerep = 6q + r , r = 0,1,2,3, 4,5şeklinde yazılabilir.r = 0 ise p = 6qolur ki 2 | p ve 2 < p olduğundan bu, p nin asal oluşuile çelişir.r = 1 ise p = 6q+ 1 olduğundan bu istenen durumdur.r = 2 ise p = 6q+ 2 olur ki 2 | p ve 2 < p olduğundan bu, p nin asaloluşu ile çelişir.r = 3 ise p = 6q+ 3 olur ki 3 | p ve 3 < p olduğundan bu, p nin asal oluşuile çelişir.r = 4 ise p = 6q+ 4 olur ki 2 | p ve 2 < p olduğundan bu, p nin asaloluşu ile çelişirr = 5 ise p = 6q + 5 = 6( q+ 1) − 1 = 6q′−1olduğundan bu istenen durumdur.q′∈ZÖrnek 2.4. ( 4 ile bölünebilme kuralı ) Bir m tamsayısının 4 ile bölünebilmesiiçin gerek ve yeter koşul bu tamsayının son iki basamağının oluşturduğusayının 4 ile bölünebilmesidir.Çözüm. m tamsayısının 10 tabanına göre yazılışınn 1 2 1m = an10 + a110 −n−+ ... + a210 + a110+ a0ve 4 | m olsun. Ayrıcann−1 24 | ( an10 + an−110 + ... + a210 )olduğundan 4 , bu iki sayının farkını da böler. Şu haldenn−1 24 | ⎡⎣m − ( an10 + an−110 + ... + a210 ) ⎤⎦17