SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Sonlu boyutlu vektör uzaylarını, izomorfizmalar yardımıylatanımlayacağımız denklik bağıntıları sayesinde izomorf sınıflaraparçalayabiliriz. Aralarında bir izomorfizma tanımlanabilen iki vektör uzayınıbağıntılı olarak tanımlarsak, tanımlayacağımız bağıntı bir denklik bağıntısıolur, böylece bu bağıntı sayesinde tanımlanabilen her bir denklik sınıfını birizomorfizma sınıfı olarak düşünebiliriz. Biraz sonra vereceğimiz teoremlebunu nasıl yapabileceğimizi göreceğiz.Tanım 15.4. V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı ve a1 , a2,..., an∈ Vvektörleri verilsin. λ1 , λ2,..., λn ∈ F olmak üzereλ1a 1+ λ2a2 + ... + λnanşeklindeki bir toplama bir lineer birleşim adı verilir.x1 , x2,..., xn⊂ Volsun. ∀a ∈ V vektörü x1 , x2,..., xnvektörlerinin bir lineer birleşimi olarak tektürlü ifade edebiliyor ise { x1 , x2,..., xn}kümesine V nin bir tabanı (bazı) adıverilir. Bir a ∈Vvektörünüa = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xnşeklinde yazarsak, buradaki λ1 , λ2,..., λn ∈ F sayılarına a vektörününkoordinatları deriz.Tanım 15.5. V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı ve { }Örnek 15.6. Geometrik olarak iki vektör aynı bir doğruya paralel iseler buvektörlere doğrusaldır, aynı bir düzleme paralel iseler düzlemseldir deriz.2Buna göre E de doğrusal olmayan iki vektör bir baz oluşturur. Benzer3şekilde düzlemsel olmayan üç vektör de E için baz oluştururlar.Örnek 15.7. e1= (1,0,...,0) , e2= (0,1,...,0) , ... , en= (0,0,...,1) vektörlerivektör uzayının bir bazını oluşturur.Teorem 15.1. F cismi üzerinde n-vektörden oluşan bir baza sahip herhangi birnV vektör uzayı, F vektör uzayına izomorftur.Kanıt. V nin bir bazı { x1 , x2,..., xn}olsun. Herhangi bir a ∈ V vektörü, bubaza göre a = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xnşeklinde ifade edilsin. Şimdi,nϕ : V → F , ϕ( a) = ( λ1 , λ2,..., λn)dönüşümünü tanımlayalım. Bu dönüşüm bir izomorfizmadır. Gerçekten;∀a,b ∈ V ve ∀λ∈ F içina = a1 x1 + a2x2 + ... + anxn, b = b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xnolmak üzerenF243