SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

dir.{( a, b,3 ) G a b 0}{( a, b,3) G a b}( b, b,3) G b= ∈ + == ∈ = −{ }= − ∈ ∈ ZÖrnek 9.4. “ Bir G grubunun komütatif olabilmesi için gerek ve yeter koşul, Gyi kendi içine resmeden−1ϕ : a → atasvirinin bir izomorfi olmasıdır “ önermesini ispat ediniz.−1Çözüm. ⇒ : G grubu komütatif ise G yi kendi içine resmeden ϕ : a → atasviri bir izomorfidir.ı) Her x Gϕ y = x olacak şekilde bir y ∈ G vardır. Çünküolduğundan∈ ye karşılık ( )−( ) ( ) 1−1 −1 −1ϕ y = x ⇒ y = x ⇒ y = y = x ∈ G−1y = x ∈ G alabiliriz.ıı) Her a,b ∈ G için G nin komütatifliği kullanılarakbulunur, yani ϕ işlemi korur.ııı) a b ϕ ( a) ϕ ( b)−ϕ ( a) = ϕ ( b)olsa:−1 −1 −1 −1( ab) = ( ab) = ( ba) = a b = ( a) ( b)ϕ ϕ ϕ≠ ⇒ ≠ olduğunu gösterelim.1 −1a = b ⇒ a = b ( grupta tersin tekliğinden )elde edilir ki, bu a ≠ b oluşu ile çelişir. Buradan ϕ tasvirinin (1-1) olduğusonucu çıkar.Şu halde ϕ tasviri bir izomorfidir.⇐ : ϕ tasviri bir izomorfi ise her a,b ∈ G için ab = ba olduğunugösterelim. ϕ işlemi koruduğundan−1 −1−ϕ ( ab) = ϕ ( a) ϕ ( b) = a b = ( ba) 1= ϕ ( ba)yani ϕ ( ab) = ϕ ( ba)elde edilir. Ayrıca ϕ , (1-1) olduğundanϕ ( ab) = ϕ ( ba)⇒ ab = babulunur. Dolayısıyla G komütatiftir.Teorem 9.2. φ : G → G ' bir grup homomorfizmi olmak üzere,1) e , G nin birim eleman ise φ( e)de G ' nün birim elemanıdır.2) ∀a ∈ G için−1 −1φ( a ) = ( φ( a))dir.174