SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

grubu vegrubudur.1φ −grubunun çekirdeğiK '1= φ − ( e')de 'G nün bir normal altTeorem 9.3. (Homomorfizmaların Temel Teoremi) ( G, ) ve ( G ', ∗ ) iki grupve φ : ( G, ) → ( G ', ∗)bir grup homomorfizması olsun. Bu homomorfizmaaltında φ ( G)kümesi “ ∗ ” işlemine göre bir gruptur. ( K, ) , φ nin çekirdeğiolmak üzere φ ( G)grubu ile G K bölüm grubu arasında bir doğalizomorfizma vardır.Kanıt. Homomorfizmalar grup işlemlerini koruduğundan φ ( G)kümesinin ∗işlemine göre bir grup olacağı açıktır. Ayrıca, ψ : G K → φ( G)dönüşümü iyitanımlıdır. γ : G → G K dönüşümü φ = γψ olacak şekilde tanımlanırsaaşağıdaki diagram tanımlanabilir.G φ φ ( G)γKψG KŞimdi b ∈ aK olsun. φ( a) = φ( b)olduğunu göstermeliyiz. b ∈ aK−1olduğundan b = ak1olacak şekilde bir k1∈ K vardır. Böylece a b = k 1dir veK çekirdek olduğundan1 1 1e' = φ( k ) = φ( a − b) = φ( a − ) φ( b) = ( φ a )− φ b1( ) ( )bulunur ki, buradan φ( a) = φ( b)elde edilir. Böylece ψ iyi tanımlıdır. Şimdide ψ nin bire-bir olduğunu kanıtlayalım. ψ ( aK) = ψ ( bK ) olsun. ψ nintanımından φ( a) = φ( b)bulunur.( ) − 1( ) ( − 1 1) ( ) ( −)e' = ( φ a ) φ b = φ a φ b = φ a b−1olduğundan a b ∈ K veya b ∈ aK elde ederiz. Böylece bK = aK dır, yaniψ bire-birdir. ψ nin örten olduğu tanımından açıktır. Üstelikψ (( aK)( bK)) = ψ (( ab) K) = φ( ab) = φ( a) φ( b)= ψ ( aK ) ψ ( bK )olmasından dolayı ψ nin bir izomorfizma olduğu görülür.176