SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Recommendations

Info

Teorem 13.17. D, Öklid fonksiyonu d olan bir Öklid bölgesi olsun.d(1) = min d( a) | a ∈ D, a ≠ 0{ }olmak üzere, bir u ∈ D elemanının D nin bir aritmetik birimi olması için gerekve yeter koşul, d( u) = d(1)olmasıdır.Kanıt. d nin Öklid fonksiyonu olması nedeniyle 2. koşuldan a ≠ 0 olmaküzere d(1) ≤ d(1. a) = d( a)dır. Ayrıca, u ∈ D bir aritmetik birim iseolduğundan d( u) = d(1)elde ederiz.d u ≤ d u u = d−1( ) ( . ) (1)Tersine, D nin sıfırdan farklı bir u elemanı için d( u) = d(1)ise bölmealgoritmasına göre D de 1 = uq + r olacak şekilde r = 0 veya d( r) < d( u)koşulunu sağlayan q ve r elemanları bulunabilir. Burada d( r) < d( u)olması,d( u) = d(1)in minimum oluşu ile çelişir. O halde r = 0 olmalıdır, böylece1 = uq elde ederiz ki, bu u nun D de bir aritmetik birim olması demektir.Tanım 13.17. D bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesi ve a,b ∈ Dolsun. Bir d ∈ D elemanı için d | a , d | b ve a ile b nin her ikisini de bölenbir c ∈ D için c | d ise bu taktirde d ye a ile b nin en büyük ortak böleni denirve e. b. o. b.( a, b ) şeklinde gösterilir.Örnek 13.12. Q [ x]de2x − 2x+ 1 ve x2+ x − 2 polinomlarının en büyükortak bölenleri x − 1 ve 2( x − 1) dir. Çünkü 2, Q [ x]de bir aritmetik birimdir.Diğer taraftan aynı polinomların Z [ x]deki en büyük ortak bölenleri sadece 1ve –1 aritmetik birimleridir.Teorem 13.18. D, Öklid fonksiyonu d olan bir Öklid bölgesi olsun. D ninsıfırdan farklı herhangi iki elemanı a ve b ise a ve b nin D de bir en büyükortak böleni vardır ve üstelik l,m ∈ D olmak üzere e. b. o. b.( a, b)= la + mbşeklinde yazılabilir.N = ra + sb | r,s ∈ D kümesini göz önüne alalım. t ∈ D olmakKanıt. { }üzere( r1 a + s1b) ∓ ( r2 a + s2b) = ( r1 ∓ r2 ) a + ( s1 ∓ s2) bvet( ra + sb) = ( tr) a + ( ts)byazılabileceğinden N, D nin bir ideali olur. Bu ideal için, her Öklid bölgesi birasal ideal olacağından bir d ∈ D için N =≺ d ≻ yazabiliriz. Şu halde∀r,s ∈ D için d | ( ra + sb)dir. Buradan s = 0 , r = 1 için d | a ve s = 1 ,228
= 0 için d | b buluruz. Üstelik c | a , c | b ise bütün ra + sb ler içinc | ( ra + sb)olduğundan ∀n ∈ N için c | n dir. Böylece, c | d elde ederiz ki,bu bize e. b. o. b.( a, b)= d olduğunu kanıtlar. Üstelik, d ∈ N olmasıd = la + mb olacak şekilde l,m ∈ D elemanlarının var olduğunu gösterir. Eğerbir diğer ortak bölen e. b. o. b.( a, b)= d1ise d | d1ve d1| d olacağından bölmealgoritması ile bir k ∈ D içind1 = kd = ( kl) a + ( km)b = l1a + m1belde ederiz.Şimdi de bir Öklid bölgesinde tanımlanan Öklid fonksiyonu için Öklidalgoritmasını ifade eden aşağıdaki teoremi kanıtlayalım.Teorem 13.19. ( Öklid Algoritması ) D, Öklid fonksiyonu d olan bir Öklidbölgesi olsun. D nin sıfırdan farklı iki a ve b elemanı için d Öklidfonksiyonunun 1. koşuluna göre a = bq1 + r1olmak üzere r1= 0 veyad( r1) < d( b)koşullarından birisi sağlanır. Eğer r 1≠ 0 ise r2için b = r1 q2 + r2sağlanır. Burada yine r2= 0 veya d( r2 ) < d( r1) dir. Bu şekilde sürdürürsek yari + 1= 0 veya d( ri+ 1) < d( ri) olmak üzerer = r q + ri− 1 i i+ 1 i+1olacak şekilde bir ri + 1elemanını bulabiliriz. Böylece elde edeceğimiz r 1, r 2,...dizisinin bir s. terimi için rs= 0 buluruz. Eğer r 1= 0 ise e. b. o. b.( a, b)= b dir.Eğer r1 ≠ 0 ve r , r = 0 olacak şekilde ilk eleman ise bu durumda dasse. b. o. b.( a, b) = rs− 1dir.Kanıt. d( ri) < d( ri− 1)ve d( r i) negatif olmayan bir tamsayı olduğundan sonlubir adımdan sonra rs= 0 buluruz. Eğer r 1= 0 ise a = bq1yazabileceğimizdene. b. o. b.( a, b)= b dir. Şimdi r1 ≠ 0 olduğunu kabul edelim. Bu durumda d | ave d | b ise d | ( a − bq1) olduğundan d | r1elde ederiz. Eğer d1 | r1ve d1| bise d1 | ( bq1 + r1) olduğundan d1| a buluruz. Böylece a ile b nin ve b ile r 1inortak bölenlerinin kümesi aynı olur. Benzer düşünceyle eğer r 2≠ 0 ise b ile r 1in ortak bölenlerinin kümesi ile r ile 1r2nin ortak bölenlerinin kümesi aynıolur. Bu şekilde sürdürerek a ile b nin ortak bölenlerinin kümesiyle, rs− 2ilers− 1in ortak bölenlerinin kümesinin aynı olduğunu elde ederiz. Böylece rs− 2ile rs− 1in bir ortak böleni aynı zamanda a ile b nin de bir ortak bölenidir.Ancakr = q r + r = q rs−2 s s−1 s s s−1denklemi e. b. o. b.( rs −2, rs −1)= rs−1olduğunu gösterir ki, bu kanıtı tamamlar.229
Page 2 and 3:
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLESOYUT CEBİ
Page 4 and 5:
ÖNSÖZİstanbul Üniversitesinden
Page 6 and 7:
9. BÖLÜM. GRUP HOMOMORFİZMALARI
Page 8 and 9:
Böylece 6. ve 8. özelliklerden a
Page 10 and 11:
Teorem 1.2. d, b ve c tamsayıları
Page 12 and 13:
ulunur, o halde ( ab, m ) = 1 dir.B
Page 14 and 15:
yazabiliriz. d | r1ise yukarıdaki
Page 16 and 17:
Örnek 1.6. n ∈ N ( Doğal Sayıl
Page 18 and 19:
a4) ,cb d ∈ Q ( a, b, c, d ∈ Z
Page 20 and 21:
2. BÖLÜM. ASAL SAYILARTanım 2.1.
Page 22 and 23:
Özellik: a, b ≥ 1 olmak üzere (
Page 24 and 25:
veya14 | ( a 10 + a ) elde ederiz.
Page 26 and 27:
nin katlarındaki sıralarda yer al
Page 28 and 29:
3. BÖLÜM. KONGRÜANSLARTanım 3.1
Page 30 and 31:
Örnek 3.2. a,b ∈ Z ve m > 0 bir
Page 32 and 33:
olmak üzere { 1, 2, 3, 4, 5} { 0,
Page 34 and 35:
Kanıt. r1 , r2,..., r n tamsayıla
Page 36 and 37:
p bir asal sayı ve α da positif b
Page 38 and 39:
elde ederiz.ϕ m = ϕ p = p − ⇒
Page 40 and 41:
uluruz, böylece istenen kalan 14 o
Page 42 and 43:
Çözüm. Eğer n tek ise ( n , 2)
Page 44 and 45:
Teorem 3.12. ( Wilson ) p bir asal
Page 46 and 47:
14) m, n ∈Z ; m 1, n 1olduğunu g
Page 48 and 49:
olduğundan a( x0 + q2m) ≡ b(mod
Page 50 and 51:
ulunur. Ayrıca (2, 21) = 1 olduğu
Page 52 and 53:
yaniolarak bulunur.Metod 2: ax b( m
Page 54 and 55:
Örnek 4.8.x ≡ 1( mod3)⎫⎪x
Page 56 and 57:
olduğundan, bu çözümün x ≡ 2
Page 58 and 59:
5. BÖLÜM. PRİMİTİF (İLKEL) K
Page 60 and 61:
uluruz. Şu halde, 7 nin 23 modül
Page 62 and 63:
sonucunu elde ederiz.neks n a = n
Page 64 and 65:
yani ϕ ( m) | ( j − k)bulunur. F
Page 66 and 67:
Tanım 5.3. a ∈ Z , ( a, m ) = 1
Page 68 and 69:
olduğundanv≡ ( mod ) ve g ≡ b(
Page 70 and 71:
y y p≡ 1(mod( − 1)) , 2nise x
Page 72 and 73:
7) eksma= h , eksmb= k ve ( , ) 1g
Page 74 and 75:
x + x + ≡ ⇒ x + − + ≡2 24 4
Page 76 and 77:
24 = 16 ≡ 2(mod 7) ,25 = 25 ≡ 4
Page 78 and 79:
olduğundan2x ≡ 2(mod 61) kongrü
Page 80 and 81:
⎛ p ⎞⎛ q ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =
Page 82 and 83:
273 − 1 73 −111 − 1 73 1.−2
Page 84 and 85:
p ≡ 3(mod 4)p ≡ 2(mod 3)kongrü
Page 86 and 87:
Kanıt. i) Q = q ... 1q2 qsve Q′
Page 88 and 89:
elde edilir ve ispat tamamlanır.
Page 90 and 91:
6) Aşağıdaki kongrüansların ç
Page 92 and 93:
7. BÖLÜM. YÜKSEK DERECEDEN KONGR
Page 94 and 95:
dir. Öte yandan 7b1≡ 1( mod 27)k
Page 96 and 97:
2f ( x) ≡ 0( mod p )2kongrüansı
Page 98 and 99:
3 2 3Örnek 7.2. x 3x27 0( mod 5 )
Page 100 and 101:
şeklindedir. ( bm , p ) = 1 olduğ
Page 102 and 103:
3) Dereceleri ≤ 6 olup aşağıda
Page 104 and 105:
ulunur.e) x = n + ρ , 0 ≤ ρ < 1
Page 106 and 107:
p = 2,3,5,7,11 asal sayılarının
Page 108 and 109:
Tanım 8.2. n bir pozitif tamsayı
Page 110 and 111:
olduğu görülür. Diğer yandan p
Page 112 and 113:
8) Bir q tamsayısının asal olmas
Page 114 and 115:
denklik sınıfına aittir. Eğer a
Page 116 and 117:
lineer denklemleri G içinde bir te
Page 118 and 119:
dir; o halde ad − bc ve ac + bd d
Page 120 and 121:
xa+x ∗ a = a ⇒ = a ⇒ xa = 3 a
Page 122 and 123:
* e ae e ae a eşeklindedir.Örnek
Page 124 and 125:
m+n m n2) a = a . a ,m n mn3) ( a )
Page 126 and 127:
3. BÖLÜM. ALT GRUPLARTanım 3.1.
Page 128 and 129:
x,y ∈ H ⇔ ∀i ∈ I için x
Page 130 and 131:
olacak şekilde bir k ∈ I varsa,
Page 132 and 133:
şeklindedir.⎛1 2 3 4⎞⎛1 2 3
Page 134 and 135:
grubu adı verilmekte veaşağıdak
Page 136 and 137:
Böylece, 2 π radyanlık pozitif y
Page 138 and 139:
3) Ѕ ( σ ) = −1, Ѕ ( τ ) = +
Page 140 and 141:
S = ( fikret )( arzu)( ahmet )( ayn
Page 142 and 143:
5. BÖLÜM. GRUP İZOMORFİZMALARIT
Page 144 and 145:
ye izomorf olacak şekilde belirlem
Page 146 and 147:
6. BÖLÜM. DEVİRLİ GRUPLAR40,2 i
Page 148 and 149:
i j j−ia = a ⇒ a = ebulunur. Ha
Page 150 and 151:
nG ' , mertebesi sonsuz olan bir de
Page 152 and 153:
= Z 18Z18in Alt Gruplarının Latis
Page 154 and 155:
5{ G }{ G }{ G }{ G }6 6 24ν = 5 :
Page 156 and 157:
G 1 = γ 3G 2 G 3 G 4 G 5G 6 ={I}Ö
Page 158 and 159:
8) ( G ,.) devirli bir grup ve G =<
Page 160 and 161:
Teorem 7.2. Zm× Zngrubunun Zmngrub
Page 162 and 163:
{ , }HK = hk | h ∈ H k ∈ Kküme
Page 164 and 165:
elde ederiz. Bu ise H nın bir elem
Page 166 and 167:
Örnek 7.11. Z2× Z4× Z3× Z3× Z5
Page 168 and 169:
sınıfında bulunur. Yani, ∀g
Page 170 and 171:
H = { I, ( 124 ),( 142 )},( ) ( ) (
Page 172 and 173:
Eğer ∀g ∈ G için( )−1 −1
Page 174 and 175:
−1 −1Teorem 8.11. G bir grup ve
Page 176 and 177:
şeklindedir. H alt grubu, G de nor
Page 178 and 179:
9. BÖLÜM. GRUP HOMOMORFİZMALARIT
Page 180 and 181:
dir.{( a, b,3 ) G a b 0}{( a, b,3)
Page 182 and 183:
grubu vegrubudur.1φ −grubunun ç
Page 184 and 185: Kanıt. Teorem 9.3. deki γ dönü
Page 186 and 187: olduğundan3195510 = 2⋅3⋅5⋅7
Page 188 and 189: Tanım 9.13. G bir grup ve p bir as
Page 190 and 191: O halde Teorem 9.13. e göre G ≅<
Page 192 and 193: 14) Z5× Z5nin birleşim serisini b
Page 194 and 195: irbirinden farklıdır.Tanım 10.3.
Page 196 and 197: elde ederiz. Böylece ( A , + ,.) c
Page 198 and 199: ( φϕ)( m, n) = φ( ϕ( m, n)) =
Page 200 and 201: 6) P( A ) , A nın kuvvet kümesi i
Page 202 and 203: ( H, ⊕, ⊙ ) halkasında, ⊕ i
Page 204 and 205: Örnek 11.5. p bir asal sayı ise Z
Page 206 and 207: olmak üzere bir i, j çifti için
Page 208 and 209: 1) [ a, b ], [ c, d ] , [ e, f ]
Page 210 and 211: a) Z4, b) Z4× Z2, c) Z10.9) ( Z6,
Page 212 and 213: Teorem 12.1. ( H , + ,.) birimli bi
Page 214 and 215: dönüşümünü tanımlayalım.ϕ(
Page 216 and 217: şeklinde tanımlı kümenin de H n
Page 218 and 219: Polinomları gösterirken genellikl
Page 220 and 221: alacağız. E bir cisim ve F, E nin
Page 222 and 223: φ x + x − = + − =( 2 6) 2 22 6
Page 224 and 225: = − | ∈ kümesini göz önüne
Page 226 and 227: olduğu görülür.2q( x) = x − x
Page 228 and 229: sf ( x) = ( b + ... + b x )( c + ..
Page 230 and 231: teoremden dolayı bir asal ideal ol
Page 232 and 233: Tanım 13.12. Bir D tamlık bölges
Page 236 and 237: Örnek 13.13. 22471 ile 3266 sayıl
Page 238 and 239: 14. BÖLÜM. CİSİM GENİŞLEMELER
Page 240 and 241: kümenin τ ( E)nin bir bazı olabi
Page 242 and 243: şeklindedirler. K nın F ve S yi k
Page 244 and 245: indirgenemez olduğundan g yi bölm
Page 246 and 247: olacak şekilde hepsi birden sıfı
Page 248 and 249: Özellik 15.1. Bir F cismi üstünd
Page 250 and 251: a + b = ( a1 + b1 ) x1 + ( a2 + b2
Page 252 and 253: olmak üzere eğer S sonlu sayıda
Page 254 and 255: Teorem 15.8. Bir V vektör uzayın
Page 256 and 257: 16. BÖLÜM. CEBİRV kümesi, bir F
Page 258 and 259: ifadesi x,y ∈ I olmasını gerekt
Page 260 and 261: Tanım 16.6. Bir cebrin bir alt kü
Page 262 and 263: olduğundan mil = nilelde ederiz.n
Page 264 and 265: şeklindeki elemanlarının oluştu
Page 266 and 267: [16] Stewart, C., Galois Theory, Ch
Page 268 and 269: Bir grubun mertebesi, 115Bir grup s
Page 270 and 271: n. kuvvet kalanı, 62Normal alt gru
show all

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?