SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

3) H ⊲ G ise φ( H ) ⊲ G ' dir.4) H, G nin bir normal alt grubu ise φ ( H ) da G ' nün bir normal altgrubudur.5) K, G ' nün bir alt grubu ise φ −1( K)da G nin bir alt grubudur.6) K, G ' nün bir normal alt grubu ise φ −1( K)da G nin bir normal altgrubudur.Kanıt.1) ∀a ∈ G için,φ( a) = φ( ae) = φ( a) φ( e)ve φ( a) = φ( ea) = φ( e) φ( a)ifadelerinden φ ( e) = e' ∈ G ' elde ederiz.2)φ = φ = φ φ ve−1 −1( e) ( aa ) ( a) ( a )−1 −1φ( a ) = ( φ( a))bulunur.3) ∀φ( a), φ( b) ∈ φ( H ) içinφ = φ = φ φ olduğundan−1 −1( e) ( a a) ( a ) ( a)φ( a) φ( b) = φ( ab)dir ve H ⊲ G olduğundan ∀a,b ∈ H için ab ∈ H olduğundanφ( a) φ( b) ∈ φ( H ) dır. ∀a ∈ H için a− 1∈ H olacağından1dolayısıyla ( φ( a))− ∈ H olduğundan φ( H ) ⊲ G ' dür.−1 −1φ( a ) = ( φ( a))ve4) H ⊲ G olsun . O halde φ( H ) ⊲ G ' olduğunu göstermek istiyoruz.∀φ( h) ∈φ( H ), ∀φ( g) ∈ G ' içinφ φ φ = φ φ φ = φ ∈ φ−1 −1 −1( g) ( h)( ( g)) ( g) ( h) ( g ) ( ghg ) ( H )olduğundan φ( H ) ⊲ G ' dür.15) ∀a, b ∈φ − ( K)içinφ φ = φ ∈ ⇒ ∈φ −1( a) ( b) ( ab) K ab ( K),olduğundan φ −1 ( K)≤ G dir.6)= ∈ ⇒ ∈−1 −1 −1 −1( φ( a)) φ( a ) K a φ ( K)−1 −1 −1φ( g) φ( h)( φ( g)) = φ( g) φ( h) φ( g ) = φ( ghg ) ∈ K elde edilir. Böylece−1 −ghg ∈ φ1 ( K)olduğundan φ −1 ( K)⊲ G elde ederiz.Tanım 9.3. φ : ( G, ) → ( G ', ∗)bir grup homomorfizmi olsun. φ fonksiyonubire-bir ve örten ise φ ye bir grup izomorfizması, bu gruplara da izomorfgruplar adı verilir.Örnek 9.5. ( G, ) ve ( G ', ∗ ) iki grup ve φ : ( G, ) → ( G ', ∗)bir gruphomomorfizmi olsun. φ nin çekirdeği ( K, ) , ( G, ) grubunun bir normal alt175