SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

alacağız. E bir cisim ve F, E nin bir alt cismi olsun. Aşağıda vereceğimizteoremle E ile F[ x ] arasında bir homomorfizmanın nasıl tanımlandığınıgörürüz.Teorem 13.2. F, E nin bir alt cismi ve F[ x ] , katsayıları F cisminden seçilenx e göre polinomların halkası olmak üzere α ∈ E içinφ : F[ x] → E,αnφ ( a + a x + ... + a x ) = a + a α + ... + a ααn0 1 n0 1şeklinde tanımlanan dönüşüm bir homomorfizmadır. Üstelik, φ ( x)= α veφ ( a)= a dır.αKanıt. φαnın iyi tanımlı olduğu yani F[ x ] de verilen birnf ( x) = a0 + a1x + ... + anxpolinomunun gösteriliş şeklinden bağımsız olduğu açıktır, çünkü bu polinomafarklı gösterimlerle eklenebilecek terimler sadece 0. x i şeklinde olacağındanböylesi terimlerin eklenmiş olması φα( f ( x))in değerini etkilemeyecektir. Ohalde F[ x ] deki toplama ve çarpma işlemlerini kullanarak dönüşümün birhomomorfizma olduğunu göstermeliyiz. Bunun için F[ x ] denf ( x) = a0 + a1x + ... + anx + ...vemg( x) = b0 + b1x + ... + bmx + ...polinomlarını göz önüne alalım. F[ x ] deki toplama işlemi ilenαφ ( f ( x) g( x)) ( c c x ... c x ...)αr+ = φα0+1+ +r+ , cr ar brrφ α 0 1 r0 1rφ αa0 b0 a1 b1x arbrx= + ; r = 0,1, 2,...r= (( a + a x + ... + a x + ...) + ( b + b x + ... + b x + ...))= (( + ) + ( + ) + ... + ( + ) + ...)r= ( a + b ) + ( a + b ) α + ... + ( a + b ) α + ...0 0 1 1r= ( a + a α + ... + a α + ...) + ( b + b α + ... + b α + ...)r0 1 r0 1m= ( a + a α + ... + a α + ...) + ( b + bα + ... + b α + ...)n0 1 n0 1= φ ( f ( x)) + φ ( g( x))ααrrrmrbuluruz. Burada, r = max( m, n)dir ve yukarıdaki denklemlerde m ≤ n veyan ≤ m durumlarının gerçeklenmesine göre toplamlarda yer alan r ye kadarolan arveya brkatsayılarından bazılarının sıfır olacağına dikkat edilmelidir.jsf ( x). g( x) = d0 + d1x + ... + ds x , 0 ≤ j ≤ s,dj= ∑ aib j − ii=0214