SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 13.15. Üzerinde bir Öklid fonksiyonu tanımlanmış bir tamlıkbölgesine bir Öklid Bölgesi adı verilir.Örnek 13.10. Z tamsayılar kümesi, bir tamlık bölgesidir veiçin d( n)bölgesidir.∀n∈ Z , n ≠ 0= n şeklinde tanımlanan Öklid fonksiyonu ile de bir ÖklidÖrnek 13.11. F bir cisim ve F[ x ], katsayıları F den alınmış olanpolinomlar halkası olsun. F[ x ] polinomlar halkası, f ( x) ∈ F[ x]; f ( x) ≠ 0için d( f ( x)) = der f ( x)şeklinde tanımlanan Öklid fonksiyonu sayesinde birÖklid bölgesidir.Tanım 13.16. D bir tamlık bölgesi ve a,b ∈ D olsun. Eğer b = ac olacakşekilde bir c ∈ D elemanı bulunabilirse bu durumda a, b yi böler deriz ve a yab nin bir çarpanı adını veririz.Teorem 13.16. Her Öklid bölgesi bir asal ideal bölgesidir.Kanıt. D, Öklid fonksiyonu d olan bir Öklid bölgesi olsun. N, D nin bir asalN = 0 ise bu durumda N =≺ 0 ≻ olacağından N bir asalideali olsun. Eğer { }ideal olur. N ≠ { 0}olsun. Bu durumda N de sıfırdan farklı bir b elemanımevcuttur. d( b) = min { d( n) : n ∈ N}olduğunu kabul edelim. O haldeN =≺ b ≻ olduğunu göstermeliyiz. N de bir a elemanı alalım. Öklidfonksiyonunun tanımından dolayı a = bq + r olacak şekilde q,r ∈ Delemanları bulunabilir. Burada ya r = 0 veya d( r) < d( b)dir. a,b ∈ N ve Nbir ideal olduğundan r = a − bq yazarsak r ∈ N buluruz. Ancak,d( r) < d( b)olması b nin seçilişi ile çelişir. O halde r = 0 olmalıdır. Böylecea = bq buluruz ve a, N nin keyfi bir elemanı olduğundan N =≺ b ≻ eldeederiz.Sonuç 13.5. Her Öklid bölgesi bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesidir.Böylece, her Öklid bölgesi bir asal ideal bölgesi olmasına karşın tersi herzaman doğru değildir. Bu nedenle Öklid bölgesi olmayan asal idealbölgelerinin araştırılması başlıca bir problemdir.Bir D Öklid bölgesi, üzerinde tanımlayacağımız toplama ve çarpmaişlemleri sayesinde araştırılabilir. D üzerindeki Öklid fonksiyonu d olmaküzere D nin aritmetik birimlerini, d nin 2. koşulu sayesinde karakterize ederiz.227