SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Teorem 13.5. f ( x) ∈ Z [ x]polinomunun Q [ x]de daha küçük dereceli ikipolinomun çarpımı olarak yazılabilmesi için gerek ve yeter koşul, f ( x ) inZ [ x]de aynı dereceden polinomların çarpımı olarak yazılabilmesidir.Sonuç 13.3. Z [ x]de a0 ≠ 0 olacak şekilde birf ( x) = a + a x + ... + a x0 1polinomu verilsin. Eğer f ( x ) , Q da bir sıfıra sahip ise Z de de m gibi birsıfıra sahiptir ve m | a0dır.Kanıt. f ( x ) , Q da bir sıfıra sahip ise f ( x ) in Q[ x ] de ( x a)nn− gibi bir lineerçarpanı vardır. O nedenle Teorem 13.5. ten dolayı Z [ x]de de bir lineerçarpana sahip olur. Böylece bir m ∈ Z içinn−1( ) = ( − )( + ... +0/ )f x x a x a myazılabilir. Böylece ( a0/ m)∈ Z , yani m | a0dır.4 2Örneğin, f ( x) = x − 2x + 8x+ 1 polinomu Q [ x]de indirgenemezdir.Çünkü sabit terim olan 1 in Z deki bölenleri sadece ± 1 den ibaret olup,f (1) = 8 ve f ( − 1) = − 8 olduğundan ± 1 den hiçbirisi f ( x ) in sıfırı değildir.O halde f polinomu Q [ x]de indirgenemezdir.Şimdi f ( x) ∈ Z [ x]in Q [ x]de ikinci dereceden iki polinomun çarpımıolarak4 2 2 2x − 2x + 8x + 1 = ( x + ax + b)( x + cx + d)şeklinde yazılabildiğini varsayalım. Bu durumda eşitliğin her iki yanında x inaynı dereceli terimlerinin katsayılarını eşitlersek,bd = 1, ad + bc = 8 , ac + b + d = − 2 , a + c = 0denklemlerini elde ederiz. Bu denklemlerin Q da çözümlerini bulamayız.Dolayısıyla, f ( x ) polinomu Q [ x]de indirgenemezdir.Bir polinomun indirgenebilmesi için bir kriter veren aşağıdaki teoremikanıtlayalım.Teorem 13.6. p ∈ Z asal sayısı vef ( x) = a + a x + ... + a x0 1polinomu verilsin. i < n ise a ≡ 0(mod p), i = n ise a ≢ 0(mod p)veia0 ≢ 0(mod p)ise o taktirde f ( x ) polinomu Q [ x]de indirgenemezdir.Kanıt. f ( x ) in Z [ x]de daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarakyazılamayacağını göstermemiz yeterlidir. f ( x ) in Z [ x]de r,s < n veb ≠ 0 , c ≠ 0 olmak üzererrnnn221