SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 9.13. Sonlu bir G grubunda birbirinin eşleniği olan iki elemanınmertebelerinin aynı olduğunu gösterelim.Çözüm. G = n ve c, g ∈ G olsun. c = gcg −1 olduğunu gösterelim. c = tolduğunu farzedelim. Birleşme özelliğini kullanarakt−1 −1 −1 −1 t −1 −1( gcg ) ( gcg )( gcg ) ( gcg ) g c ggg1= ... = = = 1 ( gg − = dir )elde edilir. 1 t′telde edilir, buradan daçelişir. Şu halde1G1t′t−1−1≤ < için ( gcg ) ≠ 1Gdir. Çünkü ( gcg )−1 −1 −1 t′−1( gcg )( gcg )...( gcg ) = gc g = 1Ggcg−1t′defat′ −GGG′1 G= 1 olsa :c = g 1 1 g = 1 bulunur ki, bu c = t oluşu ileG−1= t , yani c = gcg = t dir.GTanım 9.12. G grubunun mertebesi n olsun. G nin merkezinin eleman sayısı cve G nin birden çok elemana sahip eşlenik sınıflarının sayısı da r olsun. Bueşlenik sınıflarının eleman sayıları sırasıyla n 1, n 2,..., n rolmak üzeren = c + n1 + n2 + ... + nr, c | n , n1| n , ... , nr| ndir.n = c + n1 + n2 + ... + nrdenklemine G nin sınıf denklemi adı verilir.Şimdi, Sylow Teoremleri olarak bilinen aşağıdaki teoremleri ifade edelim.Teorem 9.9. ( Birinci Sylow Teoremi ) G sonlu mertebeden bir grup ve p, m yirbölmeyen bir asal sayı olmak üzere G = p m olsun. O taktirde G, 0 ≤ i ≤ rolmak üzere mertebesimertebeli herhangi biralt grubudur.rp olan birKialt grubu,Hialt grubuna sahiptir. Üstelik G nini 1p + mertebeli biri 1ipK +grubunun normalTeorem 9.10. ( İkinci ve Üçüncü Sylow Teoremleri ) G sonlu merebeden birrgrup ve p, m yi bölmeyen bir asal sayı olmak üzere G = p m olsun. Otaktirde G ninrp mertebeli bütün alt grupları eşlenik gruplardır ve bunlarınsayısı G nin mertebesini böler, üsteliksayısı s ise s ≡ 1(mod p)dir.rp mertebeli bütün eşlenik alt grupların181