SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olmak üzere bir i, j çifti için a. a = a.a olurdu. Ayrıca, D sıfır-bölensiziolduğundan a .1, a.a1, a.a2,..., a. a nelemanlarından hiçbirisi sıfır değildir, yanibunlar 1, a1, a2, ... , anelemanlarının herhangi bir sırada yazılmış şeklidir. Bunedenle ya a .1 = 1 veya a. ai= 1 olmalıdır. Böylece aielemanı, a nınçarpımsal inversi olarak bulunmuş olur, dolayısıyla F bir cisimdir.Sonuç 11.2. p bir asal sayı iseZpbir cisimdir.Tanım 11.3. H bir halka ve a ∈ H olsun. n. a = 0 olacak şekildeki en küçük+n ∈ Z tamsayısına H nın karakteristiği adı verilir.jÖrnek 11.5.sıfırdır.Z halkasının karakteristiği n; Z, Q ve R nin karakteristiklerinTeorem 11.5. H birimli bir halka olsun. H nın karakteristiğinin n > 0tamsayısı olması için gerek ve yeter koşul n nin n .1 = 0 koşulunu sağlayan enküçük pozitif tamsayı olmasıdır.Kanıt. n > 0 tamsayısı, birimli bir H halkasının karakterisitiği olsun. Budurumda ∀a ∈ H için n. a = 0 yazılabileceğinden 1∈ H için de n .1 = 0 dır. nkarakteristik olduğundan n .1 = 0 olacak şekilde en küçük pozitif tamsayıdır.Tersine n, n .1 = 0 olacak şekilde en küçük pozitif tamsayı olsun. O halde∀a∈ H için,na = a + a + ... + a = a (1 + 1 + ... + 1) = a( n.1) = a.0 = 0 n defan defayazılabileceğinden n, halkanın karakteristiği olur.Teorem 11.6. (Fermat Teoremi) a ∈ Z ve p, p|/ a olacak şekilde bir asal sayıp 1olsun. Bu taktirde p a −p 1| − 1 , yani a− ≡ 1(mod p)dir.Bu teoremin kanıtını birinci bölümde vermiştik. Bu teoremden bir sonuçelde etmek istiyoruz. Z cismini göz önüne alalım. Bir cismin sıfırdan farklıpelemanlarının kümesi çarpma işlemine göre bir grup teşkil eder. O haldenin 1 , 2 , 3 , ... , p − 1 elemanlarının kümesi Zpdeki çarpma işlemine göre birgruptur. Bu grubun mertebesi p − 1 dir. Bir grupta her elemanın mertebesi,grubun mertebesini böleceğinden a ≠ 0 ve a ∈ Zpolmak üzere a nınmertebesi p − 1 i böler, bu durumdap 1a − = 1 yazabiliriz ve eğer a kk | p −1 olduğundan p − 1 = kt , t ∈ Z elde ederiz, buradanZp= ise200