SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ulunur. Ayrıca (2, 21) = 1 olduğundan kongrüansın her iki tarafını 2 ileçarparsak x ≡ 8(mod 21) elde ederiz. Şu halde x0 ≡ 8(mod 21) dersek, tümçözümler:x ≡ x + m't ≡ x + 21 t(mod105)0 0şeklindedir. 0 ≤ t ≤ d − 1 olduğundan t = 0, 1, 2, 3, 4 alınır vem 105m ' = = = 21 olduğu dikkate alınırsa tüm çözümlerd 5t = 0 ⇒ x ≡ 8(mod105),şeklinde bulunur.t = 1 ⇒ x ≡ 29(mod105),t = 2 ⇒ x ≡ 50(mod105),t = 3 ⇒ x ≡ 71(mod105),t = 4 ⇒ x ≡ 92(mod105)Not: Eğer ( a, m ) = 1 ise ax ≡ b(mod m)kongrüansını aşağıda açıklandığışekilde çözebiliriz:ϕ ( m)( a, m ) = 1 olduğundan Euler Teoremine göre a ≡ 1(mod m)dir.ax ≡ b(mod m)kongrüansının her iki tarafınıbuluruz.( m) 1a ϕ − ile çarparsak≡ (mod ) ⇒ ≡ (mod )ϕ ( m) 1 ( m) 1 ( m) ( m) 1a − ϕax a − ϕ ϕb m a x a − b mϕ ( m) −⇒ x ≡ a 1 b(mod m)Örnek 4.4. 2x ≡ 1(mod 7) kongrüansının çözümünü bulalım.Çözüm. (2,7) = 1 olduğundan kongrüansın tek çözümü vardır. Bu çözümşeklinde olacaktır. Şudir.ϕ ( m) −x ≡ a 1 b(mod m)halde çözüm,x ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ϕ (7) −1 6−1 52 2 2 32 4(mod 7)∗Örnek 4.5. Z20( Z20nin asal kalan sınıflar grubu ) grubunda 3 elemanınıntersini bulalım.Çözüm. Z ∗ 20= {1, 3, 7, 9,11,13,17,19} dir. 3 elemanının tersini bulmak içinx = koşuluna uyan x kalan sınıfını bulmalıyız. Bunun için 3x ≡ 1( mod 20)3. 1kongrüansının çözümünü bulmak yeter.2 2 1 1 1 420 = 2 .5 ⇒ ϕ(20) = ϕ(2 .5) = 20(1 − )(1 − ) = 20. . = 82 5 2 544