SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Örnek 3.9. 8 modülüne göre bir asal kalan sistemi elde edelim.3 3 3 1 3 1Çözüm. 8 = 2 ⇒ ϕ(8) = ϕ(2 ) = 2 (1 − ) = 2 = 4 olduğundan,2 20,1,2,3,4,5,6 ve 7 tamsayıları bir tam kalan sistemi oluşturur, bunlardan 0,2,4ve 6 tamsayıları atılırsa ( 8 ile aralarında asal olmayan tamsayılar ) geriyekalan 1,3,5 ve 7 tamsayıları ise bir asal kalan sistemi oluşturur.Teorem 3.9. a1 , a2 ,..., a ϕ ( m)tamsayıları m modülüne göre bir asal kalan sistemioluşturuyor ve ( k, m ) = 1 ise bu taktirde ka1 , ka2 ,..., ka ϕ ( m)tamsayıları da mmodülüne göre bir asal kalan sistemi oluşturur.Kanıt. i) ( k, m ) = 1, ( a , m ) = 1, i = 1,2,..., ϕ( m)olduğundan ( ka , m ) = 1 dir.iii) i ≠ j için kai ≡ kaj( mod m ) dir. Çünkü, eğer kai≡ kaj(mod m)olsa:( k, m ) = 1 olduğundan a ≡ a (mod m)olurdu ki, bu bir çelişmedir.ijiii) ka1 , ka2 ,..., ka ϕ ( m)tamsayılarının sayısı ϕ ( m)olup, i) ve ii) den dolayıfarklı asal kalan sınıflarına aittir. Asal kalan sınıflarının sayısı tam olarakϕ ( m)olduğundan ( a, m ) = 1 koşuluna uyan ∀a∈ Z için, a bir asal kalansınıfı olmak üzere, kai0∈ a ise o taktirde kai≡ a(mod m)dir.0Teorem 3.10. ( Euler ) m ∈ N , m > 1 , a ∈ Z ve ( a, m ) = 1 olsun. Bu taktirdeϕ ( m)a ≡ 1(mod m)dir.Kanıt. a1 , a2 ,..., a ϕ ( m)tamsayıları, m modülüne göre bir asal kalan sistemi ve( a, m ) = 1 olsun. Bu takdirde Teorem 3.8. e göre aa1 , aa2 ,..., aa ϕ ( m)tamsayılarıda, m modülüne göre bir asal kalan sistemi oluşturur. Bu nedenle bu tamsayılarm modülüne göre ikişer ikişer birbirine eşdeğerdir. Şu halde,aa . aa ... aa ≡ a . a ... a (mod m)vedir, böyleceolduğundan Teorem 3.3. ten1 2 ϕ ( m) 1 2 ϕ ( m)( . ... ) ≡ . ... (mod )ϕ ( m)a a1 a2 aϕ( m) a1 a2 aϕ( m)m( ai, m ) = 1, i = 1,2,..., ϕ( m) ⇒ ( a1. a2 ... aϕ( ), m) = 1aϕ ( m)Teorem 3.11. ( Fermat ) p bir asal sayı ve p≡ 1(mod m)elde ederiz.pa 1(mod p)dir.Kanıt. Euler Teoreminde m = p alırsak− 1≡m|/ a olsun. Bu taktirde,i31