SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

7. BÖLÜM. KARTEZYEN ÇARPIM GRUPLARITanım 7.1. S1, S2,..., Snkümeleri verilsin.S × S × ... × S = ( a , a ,..., a ) | a ∈ S , 1 ≤ i ≤ n{ }1 2 n 1 2 n i ikümesine bu kümelerin kartezyen çarpım kümesi adı verilir ve= 1şeklinde gösterilir.nTeorem 7.1. G1 , G2,..., Gngrupları verilsin. Χ G kümesi,i = 1 i( g , g ,..., g )( g ', g ',..., g ') = ( g g ', g g ',..., g g ')1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nşeklinde tanımlanan işleme göre bir grup teşkil eder. Bu gruba G1 , G2,..., Gngruplarının kartezyen dış çarpım grubu veya sadece kartezyen çarpım grubuadı verilir.Kanıt. 1 ≤ i ≤ n olmak üzere ∀ i için ei, Gigrubunun birim elemanı ise,( e , e ,..., e ) de kartezyen çarpım grubunun birim elemanıdır. Eğer1 2nn( a1 , a2,..., an) ∈ Χ G ise −1 −1 −1i = 1 i( a1 , a2,..., a n) de bu elemanın, kartezyençarpım grubuna ait inversidir. Kapalılık ve birleşme özelliklerinin sağlanacağıG1 , G2,..., Gnkümelerinin grup olma koşullarından açıkca görülür.Örnek 7.1. Z2= { 0,1}ve3= { 0,1,2}alalım. × = { }ΧniS iZ devirli gruplarını göz önüneZ2Z3(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1, 2) kümesi 6. mertebedendevirli bir gruptur. Bu grubun bir üreteci (1,1) elemanıdır. Yani,Z2× Z3=< (1,1) > dir ve mertebesi aynı olan bütün devirli gruplar birbirineizomorf olduğundan Z2× Z3 ≅ Z6izomorfizmi vardır.Örnek 7.2. Z3× Z3grubu 9. mertebeden devirli olmayan bir gruptur. Çünkü,bu grubun hiçbir elemanını 9 kez topladığımızda grubun birim elemanınaulaşamayız, ancak Z3devirli olduğundan 3. toplamada Z3ün birim elemanınıelde ederiz. Dolayısıyla Z3× Z3grubu devirli olamaz ve Z9grubuna izomorfyapılamaz. Diğer taraftan, aynı nedenle Z2× Z2grubu 4. mertebeden devirliolmayan bir gruptur. Mertebesi 4 olan ve birbirine izomorf yapılamayan ikigrubun olduğunu biliyoruz. Bu gruplardan Z4devirli, fakat V-Klein 4 grubudevirli değildir. Böylece Z2× Z2, mertebesi 4 fakat devirli olmadığından aynımertebeden devirli Z4grubuna izomorf yapılamaz, dolayısıyla Z2× Z2,V-Klein 4 grubuna izomorf olmak durumundadır.153