SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

önermeleri doğru ise H halkasında sadeleştirme kuralı geçerlidir deriz.Örnek 11.4. Z 11760 halkasında kaç tane sıfır-bölen vardır?Çözüm. Z 11760 halkasının elemanlarından asal kalan sınıflarını ve 0 kalansınıfını çıkarırsak sıfır-bölenleri elde ederiz.11760 = 2⋅ 5880 = 2 ⋅ 2940 = 2 ⋅ 1470 = 2 ⋅ 735 = 2 ⋅3⋅2454 4 2= 2 ⋅3⋅5⋅ 49 = 2 ⋅3⋅5⋅7olduğundan( ) ϕ ( )4 2 3 6ϕ 11760 = 2 ⋅3⋅5⋅ 7 = 2 ⋅2⋅ 4⋅7 ⋅ 6 = 2 ⋅ 42 = 2688elde edilir. Şu halde Z 11760 halkasındaki sıfır-bölenlerin sayısıdir.2 3 4 4( ϕ ( ) )11760 − 11760 + 1 = 11760 − 2689 = 9071Teorem 11.2. Bir H halkasında sadeleştirme kuralının geçerli olması içingerek ve yeter koşul H halkasının sıfır-bölensiz olmasıdır.Kanıt. H halkasında sadeleştirme kuralının geçerli olduğunu kabul edelim.a,b ∈ H elemanları için ab = 0 ise a veya b den en az birinin sıfır olduğunugöstermeliyiz.Eğer a ≠ 0 ise ab = a0dan b = 0 , eğer b ≠ 0 ise ab = 0bden a = 0 eldeederiz. Bu durumda H sıfır-bölensizdir.Şimdi H nın hiçbir sağ ve sol sıfır-bölene sahip olmadığını kabul edelim.Bu durumda a,b ∈ H ve a ≠ 0 olmak üzere ab = ac olsun. Buradana( b − c) = 0 yazabiliriz. O halde b − c = 0 , yani b = c buluruz. Benzer şekildeba = ca için aynı sonuç bulunur. Böylece H halkasında sadeleştirme kuralıgeçerlidir.H halkası sıfır-bölensiz bir halka olsun. Bu durumda a ≠ 0 olmak üzereax = b denklemi H da en çok bir çözüme sahiptir. Eğer ax = b denklemininH da x1, x2gibi farklı iki çözümü varsa ax1= b ve ax2= b dir. BuradanTeorem 11.2. ye göre x1 = x2elde ederiz.Tanım 11.2. H, birimli ve değişmeli bir halka olsun. Eğer H halkasısıfır-bölensiz ise H ya bir tamlık bölgesi adı verilir.Böylece bir polinomun katsayılarını bir tamlık bölgesinden seçersek eldeedilecek denklemi lineer çarpanlarına ayırmak suretiyle denklemin çözümlerinibu tamlık bölgesi içinde araştırabiliriz. O halde bir tamlık bölgesi,denklemlerin çözümlerini yapabileceğimiz birimli ve değişmeli halkalar ilecisimler arasında kalan en dar cebirsel yapıyı tanımlamaktadır.197