SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 13.12. Bir D tamlık bölgesinin sıfırdan farklı aritmetik birim olmayanindirgenemez bir p elemanı için p | ab ise p | a veya p | b önermesi doğru ise pye bir asal eleman adı verilir.Tanım 13.13. D bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesi olsun. D[ x ] desabit olmayan birnf ( x) = a + a x + ... + a xpolinomununi0 1a katsayılarının ortak bölenleri sadece D nin aritmetikbirimlerinden ibaret ise, bu durumda f ( x ) polinomuna bir ilkel polinom veyaprimitif polinom adı verilir.2Örnek 13.9. 4x+ 3x+ 2 polinomu, Z [ x]de bir ilkel polinomdur. Çünküpolinomun katsayıları olan 4, 3, 2 sayılarının ortak bölenleri ± 1 dir ve bunlar2Z nin aritmetik birimleridir. Diğer taraftan, 4x+ 6x+ 2 polinomununkatsayıları olan 4, 6, 2 sayılarının ortak bölenlerinden birisi olan 2 sayısı Znin bir aritmetik birimi değildir. O halde bu polinom bir ilkel polinom değildir.Sonuç olarak, D[ x ] de sabit olmayan indirgenemez her polinom bir ilkelpolinomdur.Teorem 13.15. D, bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesi ise D[ x ] in ikiilkel polinomunun çarpımı da bir ilkel polinomdur.nÖKLİD BÖLGELERİBölme algoritmasının tamsayılar ve polinom halkaları için verildiğinibiliyoruz. Ayrıca bir cismin herhangi bir elemanının, sıfırdan farklı diğer birelemanı tarafından daima bölünebildiğini de biliyoruz. Şimdi ise bölmealgoritmasının geçerli olduğu diğer halkaların varlığı üzerinde durmakistiyoruz. Bunu tamlık bölgeleri ile bölme algoritmasını ilişkilendiren bircebirsel yapı sayesinde vereceğiz.Tanım 13.14. D bir tamlık bölgesi olsun. D nin sıfırdan farklı elemanlarınınegatif olmayan tamsayılara resmeden ve aşağıdaki koşulları sağlayan ddönüşümüne bir Öklid Fonksiyonu adını vereceğiz;a) ∀a,b ∈ D ; a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere d( a) ≤ d( ab),b) a,b ∈ D ve b ≠ 0 ise a = bq + r olacak şekilde r = 0 veyad( r) < d( b)koşullarını sağlayan q,r ∈ D elemanları vardır.226