SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

S = ( fikret )( arzu)( ahmet )( aynur )( sonay)( ayten)( figen)( füsun)( nur)( seda)3permütasyonu tarafından üretilen G grubunda, S permütasyonununnormalizatörünü ( Tanım 9.14. e bakınız ) bulalım.Çözüm. Önce G grubunu belirleyelim. Bunun için, S yi yabancı devrelereayıralım.S = azuhmtfüo snigyed kr ⇒ S = 9,7, 2 = 126olduğundan( )( )( ) [ ]125{ , ,..., }G = S = I S Sbulunur. G bir devresel grup olduğundan komütatiftir. Dolayısıyla her Siçin N µ = G , yani N 3 = G elde edilir.SPROBLEMLERS1) G bir grup ve a ∈ G olsun.fa: G → G , fa( x)= axşeklinde tanımlanan dönüşümün bir permütasyon olduğunu kanıtlayınız.2) Aşağıdaki şekilde tanımlanan fi: R → R , i = 1, 2, 3, 4 fonksiyonlarındanhangileri permütasyon tanımlar.f ( x) = x + 1,f ( x)= x 2, ( ) x 11 2f3 x = e +3, f ( x)= x .43) f , A kümesinin bir permütasyonu olsun. A kümesi üstünden“ ∀a ∼ b ⇔ f ( a)= b olacak şekilde bir n ∈ Z vardır ”şeklinde tanımlı “ ∼ ” bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz.4) Aşağıdaki ifadelerin hangilerinin doğru, hangilerinin yanlış olduğunubelirtiniz.a) Her permütasyon bir dairesel permütasyondur,b) Her dairesel permütasyon bir permütasyondur,c) γndeki tek ve çift permütasyonların sayısı eşittir,d) A4ün 12 tane elemanı vardır,e) A3değişmeli bir gruptur,f) Her permütasyon bire-bir bir dönüşümdür.5)0σ ,3γ simetrik grubunun birim elemanı olsun.0σ permütasyonunu ikitranspozisyonun çarpımı olarak yazınız.µ ∈G134