SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

∩( )h H h H h H j J∈ * ⇒ ∈ j ⇒ ∈ j ∀ ∈−1j∈J⎪⎬ ⇒ ∈ j ∀ ∈dır. Dolayısıyla, H*j( ∀ ∈ )H ⊲ G j J⊲ G bulunur.⎫⎪⎭( )ghg H j J−1⇒ ghg ∈ H = H *⇒ ghg−1∩j∈J∈ H *Örnek 8.8. ( Z , + ) değişmeli bir grup olduğundan 3Z , Z nin bir normal altgrubudur. Z 3Z bölüm grubunun elemanları ise 0 + 3 Z, 1+ 3 Z, 2 + 3Z dir.Örnek 8.9. ( × ) ( 0,1)Z Z bölüm grubuna izomorf olan devirli bir grup4 6bulunuz.Çözüm: < (0,1) >= H olsun. O halde,H = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5)}dir. Z4× Z6nın mertebesi 24, H nın mertebesi 6 dır. O halde H nın bütünZ × Z bölüm grubununkalan sınıfları 6 elemanlıdır. Böylece, ( 4 6 ) Hmertebesi 4 olmalıdır. Z4× Z6değişmeli olduğundan ( × )değişmeli olacaktır. Böylece ( Z × Z ) nın elemanları4 6HH = (0,0) + H , (1,0) + H , (2,0) + H , (3,0) + Hşeklindedir. Üstelik, ( × )grubuna izomorftur.4 6HjZ Z da4 6HZ Z aynı sayıda elemana sahip olan Z4Tanım 8.7. Hiçbir normal öz alt gruba sahip olmayan bir gruba basit grupadını vereceğiz.Teorem 8.10. Devirli bir grubun herhangi bir bölüm grubu da devirlidir.Kanıt. G devirli bir grup ve a, G nin bir üreteci olsun. N, G nin bir normal altgrubu olmak üzere G N nin elemanları ∀a ∈ G için aN şeklindedir. aN ninkuvvetleri ise N nin bütün kalan sınıflarını oluşturur. O haldedir ve devirlidir.{ aN m }G N = ( ) m | ∈ Z−Tanım 8.8. G bir grup ve a,b ∈ G olsun. aba bnin değiştiricileri ( komütatörleri ) adı verilir.1 −1şeklindeki elemanlara G167