SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Teorem 13.17. D, Öklid fonksiyonu d olan bir Öklid bölgesi olsun.d(1) = min d( a) | a ∈ D, a ≠ 0{ }olmak üzere, bir u ∈ D elemanının D nin bir aritmetik birimi olması için gerekve yeter koşul, d( u) = d(1)olmasıdır.Kanıt. d nin Öklid fonksiyonu olması nedeniyle 2. koşuldan a ≠ 0 olmaküzere d(1) ≤ d(1. a) = d( a)dır. Ayrıca, u ∈ D bir aritmetik birim iseolduğundan d( u) = d(1)elde ederiz.d u ≤ d u u = d−1( ) ( . ) (1)Tersine, D nin sıfırdan farklı bir u elemanı için d( u) = d(1)ise bölmealgoritmasına göre D de 1 = uq + r olacak şekilde r = 0 veya d( r) < d( u)koşulunu sağlayan q ve r elemanları bulunabilir. Burada d( r) < d( u)olması,d( u) = d(1)in minimum oluşu ile çelişir. O halde r = 0 olmalıdır, böylece1 = uq elde ederiz ki, bu u nun D de bir aritmetik birim olması demektir.Tanım 13.17. D bir tek türlü asal çarpanlara ayrılış bölgesi ve a,b ∈ Dolsun. Bir d ∈ D elemanı için d | a , d | b ve a ile b nin her ikisini de bölenbir c ∈ D için c | d ise bu taktirde d ye a ile b nin en büyük ortak böleni denirve e. b. o. b.( a, b ) şeklinde gösterilir.Örnek 13.12. Q [ x]de2x − 2x+ 1 ve x2+ x − 2 polinomlarının en büyükortak bölenleri x − 1 ve 2( x − 1) dir. Çünkü 2, Q [ x]de bir aritmetik birimdir.Diğer taraftan aynı polinomların Z [ x]deki en büyük ortak bölenleri sadece 1ve –1 aritmetik birimleridir.Teorem 13.18. D, Öklid fonksiyonu d olan bir Öklid bölgesi olsun. D ninsıfırdan farklı herhangi iki elemanı a ve b ise a ve b nin D de bir en büyükortak böleni vardır ve üstelik l,m ∈ D olmak üzere e. b. o. b.( a, b)= la + mbşeklinde yazılabilir.N = ra + sb | r,s ∈ D kümesini göz önüne alalım. t ∈ D olmakKanıt. { }üzere( r1 a + s1b) ∓ ( r2 a + s2b) = ( r1 ∓ r2 ) a + ( s1 ∓ s2) bvet( ra + sb) = ( tr) a + ( ts)byazılabileceğinden N, D nin bir ideali olur. Bu ideal için, her Öklid bölgesi birasal ideal olacağından bir d ∈ D için N =≺ d ≻ yazabiliriz. Şu halde∀r,s ∈ D için d | ( ra + sb)dir. Buradan s = 0 , r = 1 için d | a ve s = 1 ,228