SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

elde edilir ve ispat tamamlanır.⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ∑s 2 2s qi−1 Q −1( 1) 8 1 ( 1)8⎜ ⎟ = ∏ ⎜ ⎟ = − i=−⎝ Q ⎠ i=1 ⎝ qi⎠Teorem 6.7. P, Q pozitif tek tamsayılar ve ( P, Q ) = 1 olsun. Bu takdirde⎛ P ⎞⎛ Q ⎞⎜ = −Q⎟⎜P⎟⎝ ⎠⎝ ⎠1 1.1 P − Q −2 2( )dir.Kanıt. piler ve qiler tek asal sayılar olmak üzere P = p ... 1p2 prveQ = q ... 1q2 qsolsun. Kuadratik Resiprosite Teoreminden⎛ P ⎞ P ⎛ p ⎞ ⎛ q ⎞= = = −⎝ ⎠s s r s r p 1 1i − q j −ij.( 1)2 2⎜ ⎟ ∏ ∏∏ Q j 1 q ⎜= j j= 1 i= 1 q ⎟ ∏∏ ⎜ ⎟⎝ ⎠ j j= 1 i=1 ⎝ pi⎠s r⎛ P ⎞ ⎛ Q ⎞ ∑∑⇒ ⎜ ⎟ = −Q⎜P⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠( 1) j= 1 i=1p 1 1i − q j −.2 2(6.7)elde edilir. Fakatverp 1 1 1 1i− qj− pi− qj−. =2 2 2 2s r r s∑∑ ∑ ∑ (6.8)j= 1 i= 1 i= 1 j = 1ij∑ ≡ ( ) , ≡ ( )i=1p −1 P −1 mod 22 2s q −1 Q −1 ∑ mod 2(6.9)2 2j=1olduğundan , (6.8) ve (6.9) bağıntıları (6.7) de kullanılaraksonucu bulunur.⎛ P ⎞⎛ Q ⎞⎜ = −Q⎟⎜P⎟⎝ ⎠⎝ ⎠1 1.1 P − Q −2 2( )(6.10)Bu son teorem bize, Jacobi sembolünün Kuadratik Resiprosite kuralına⎛ P ⎞uyduğunu gösterir. (6.10) eşitliği kullanılarak ⎜ ⎟ Jacobi sembolünün değeri⎝ Q ⎠daha kolay hesaplanabilir. Bu kolaylığa rağmenolması , x 2 P ( mod Q)⎛ P ⎞⎜ ⎟ nun değerinin +1⎝ Q ⎠≡ kongrüansının çözümünün olmasını garantilemez. Şu82