SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Recommendations

Info

Kanıt. r1 , r2,..., r n tamsayıları mod n bir tam kalan sistemi ve s1, s2,..., s mtamsayıları da mod m bir tam kalan sistemi olsun. x ∈ { r1 , r2,..., r n } ve∈ { } olmak üzere { xm yn}y s1 , s2,..., sm+ formundaki tamsayıları göz önünealalım. Bu tamsayıların sayısı mn dir. Önce bu mn tane tamsayının mod mnbir tam kalan sistemi oluşturduğunu gösterelim. Bunun için bu sayılardanherhangi ikisinin mod mn birbirine kongrü olmadığını göstermek yeter.xm + yn formundaki sayılardan herhangi ikisi ri m + s jn, rt m + sunolsun.i j t u( mod )r m + s n ≡ r m + s n mn olsa:vei j t u( mod )r m + s n ≡ r m + s n nri m + s jn ≡ rt m + sun ( mod m)bağıntıları elde edilir. rim ≡ 0( mod m), rtm ≡ 0( mod m), sin≡ 0( mod n),sun≡ 0( mod n)olduğu göz önüne alınırsarim ≡ rtm( mod n)(3.2)s jn ≡ sun( mod m)(3.3)bulunur. (3.2) ve (3.3) te ( m, n ) = 1 olduğundan Teorem 3.3. ün sonucuna göreri≡ rt( mod n)s ≡ s ( mod m)juelde edilir. Fakat r1 , r2,..., r n tamsayıları mod n bir tam kalan sistemiolduğundan i = t ve s1, s2,..., s m tamsayıları da m modülüne göre bir tamkalan sistemi oluşturduğundan j uxm + yn tamsayıları= bulunur. Şu halde { }mod mn bir tam kalan sistemi oluştururlar. Bu sayıların içinde mn ilearalarında asal olanların sayısı ϕ ( mn)dir. Şimdi( xm + yn, mn)= 1 ⇔ ( x, n ) = 1 ve ( )olduğunu gösterelim.( xm yn mn)y, m = 1( xm yn n) ( xm n) ( x n)( xm yn m) ( yn m) ( y m)⎧ ⎪ + , = 1 ⇒ , = 1 ⇒ , = 1+ , = 1⇒ ⎨⎪⎩ + , = 1 ⇒ , = 1 ⇒ , = 1elde edilir. Tersine Teorem 1.6. kullanılarak( x, n)= 1 ⎫ ⎪( , )( y, m ) = 1⎫⎪⎬ ⇒ xm n = 1 , ⎬ ⇒ ( yn, m)= 1( m, n)= 1⎪⎭( n, m)= 1⎪⎭28
ulunur. Buradan tekrar Teorem 1.6. yı kullanarakxm yn, n 1 xm yn, m 1 xm + yn, mn = 1( + ) = , ( + ) = , ( )sonuçları elde edilir. ( x, n ) = 1 koşulunu gerçekleyen x tamsayılarının sayısıϕ ( n), ( y, m ) = 1 koşulunu gerçekleyen y tamsayılarının sayısı da ϕ ( m)olduğundan ( xm + yn, mn)= 1 koşulunu gerçekleyen { xm yn}tamsayıların sayısı ϕ ( n) ⋅ ϕ ( m)dir. Öte yandan ( xm yn mn)uyan { xm + yn}formundaki tamsayıların sayısı ϕ ( m.n)ϕ ( n.m) = ϕ ( n) ⋅ ϕ ( m)elde edilir.+ formundaki+ , = 1 koşulunadir. Böyleceϕ 2.2 = 2Not: Teorem 3.7. deki ( m, n ) = 1 koşulu kaldırılamaz. Gerçekten ( )olduğu halde ϕ ( 2) ⋅ ϕ ( 2)= 1 dir.Teorem 3.8. ϕ ( 1)= 1 ve n > 1 bir pozitif tamsayı olmak üzeredir. Burada∏p nϕ( n)1= n⋅∏(1 − )pp nde çarpım n tamsayısının bütünp asal bölenlerininüzerinden alınmaktadır. Şu halde n tamsayısının kanonik formu1 21 2 ... kn = p p p α isep nk1 1 1 1 1(1 − ) = (1 − )(1 − )...(1 − ) = (1 − )p p p p p∏ ∏1 2 k j=1olur.Kanıt. ϕ (1) = 1 olduğu açıktır. n > 1 bir tamsayı ve n nin kanonik formuα 1 α 21 2 ... k1 2k=kolsun. ( p1 p2p αk )n p p p αkullanılarakα , α ,..., = 1 olduğundan Teorem 3.7.α1ϕ = ϕ ⋅ϕ∏ α1i( n) ( p ) ( p )ki=2elde edilir. Teorem 3.7. tekrar kullanılarak indüksiyon ilebulunur.1 2k( n) = ( p α1 ) ( p α2 )... ( p αk )ϕ ϕ ϕ ϕikj29
Page 2 and 3: ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLESOYUT CEBİ
Page 4 and 5: ÖNSÖZİstanbul Üniversitesinden
Page 6 and 7: 9. BÖLÜM. GRUP HOMOMORFİZMALARI
Page 8 and 9: Böylece 6. ve 8. özelliklerden a
Page 10 and 11: Teorem 1.2. d, b ve c tamsayıları
Page 12 and 13: ulunur, o halde ( ab, m ) = 1 dir.B
Page 14 and 15: yazabiliriz. d | r1ise yukarıdaki
Page 16 and 17: Örnek 1.6. n ∈ N ( Doğal Sayıl
Page 18 and 19: a4) ,cb d ∈ Q ( a, b, c, d ∈ Z
Page 20 and 21: 2. BÖLÜM. ASAL SAYILARTanım 2.1.
Page 22 and 23: Özellik: a, b ≥ 1 olmak üzere (
Page 24 and 25: veya14 | ( a 10 + a ) elde ederiz.
Page 26 and 27: nin katlarındaki sıralarda yer al
Page 28 and 29: 3. BÖLÜM. KONGRÜANSLARTanım 3.1
Page 30 and 31: Örnek 3.2. a,b ∈ Z ve m > 0 bir
Page 32 and 33: olmak üzere { 1, 2, 3, 4, 5} { 0,
Page 36 and 37: p bir asal sayı ve α da positif b
Page 38 and 39: elde ederiz.ϕ m = ϕ p = p − ⇒
Page 40 and 41: uluruz, böylece istenen kalan 14 o
Page 42 and 43: Çözüm. Eğer n tek ise ( n , 2)
Page 44 and 45: Teorem 3.12. ( Wilson ) p bir asal
Page 46 and 47: 14) m, n ∈Z ; m 1, n 1olduğunu g
Page 48 and 49: olduğundan a( x0 + q2m) ≡ b(mod
Page 50 and 51: ulunur. Ayrıca (2, 21) = 1 olduğu
Page 52 and 53: yaniolarak bulunur.Metod 2: ax b( m
Page 54 and 55: Örnek 4.8.x ≡ 1( mod3)⎫⎪x
Page 56 and 57: olduğundan, bu çözümün x ≡ 2
Page 58 and 59: 5. BÖLÜM. PRİMİTİF (İLKEL) K
Page 60 and 61: uluruz. Şu halde, 7 nin 23 modül
Page 62 and 63: sonucunu elde ederiz.neks n a = n
Page 64 and 65: yani ϕ ( m) | ( j − k)bulunur. F
Page 66 and 67: Tanım 5.3. a ∈ Z , ( a, m ) = 1
Page 68 and 69: olduğundanv≡ ( mod ) ve g ≡ b(
Page 70 and 71: y y p≡ 1(mod( − 1)) , 2nise x
Page 72 and 73: 7) eksma= h , eksmb= k ve ( , ) 1g
Page 74 and 75: x + x + ≡ ⇒ x + − + ≡2 24 4
Page 76 and 77: 24 = 16 ≡ 2(mod 7) ,25 = 25 ≡ 4
Page 78 and 79: olduğundan2x ≡ 2(mod 61) kongrü
Page 80 and 81: ⎛ p ⎞⎛ q ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =
Page 82 and 83: 273 − 1 73 −111 − 1 73 1.−2
Page 84 and 85:
p ≡ 3(mod 4)p ≡ 2(mod 3)kongrü
Page 86 and 87:
Kanıt. i) Q = q ... 1q2 qsve Q′
Page 88 and 89:
elde edilir ve ispat tamamlanır.
Page 90 and 91:
6) Aşağıdaki kongrüansların ç
Page 92 and 93:
7. BÖLÜM. YÜKSEK DERECEDEN KONGR
Page 94 and 95:
dir. Öte yandan 7b1≡ 1( mod 27)k
Page 96 and 97:
2f ( x) ≡ 0( mod p )2kongrüansı
Page 98 and 99:
3 2 3Örnek 7.2. x 3x27 0( mod 5 )
Page 100 and 101:
şeklindedir. ( bm , p ) = 1 olduğ
Page 102 and 103:
3) Dereceleri ≤ 6 olup aşağıda
Page 104 and 105:
ulunur.e) x = n + ρ , 0 ≤ ρ < 1
Page 106 and 107:
p = 2,3,5,7,11 asal sayılarının
Page 108 and 109:
Tanım 8.2. n bir pozitif tamsayı
Page 110 and 111:
olduğu görülür. Diğer yandan p
Page 112 and 113:
8) Bir q tamsayısının asal olmas
Page 114 and 115:
denklik sınıfına aittir. Eğer a
Page 116 and 117:
lineer denklemleri G içinde bir te
Page 118 and 119:
dir; o halde ad − bc ve ac + bd d
Page 120 and 121:
xa+x ∗ a = a ⇒ = a ⇒ xa = 3 a
Page 122 and 123:
* e ae e ae a eşeklindedir.Örnek
Page 124 and 125:
m+n m n2) a = a . a ,m n mn3) ( a )
Page 126 and 127:
3. BÖLÜM. ALT GRUPLARTanım 3.1.
Page 128 and 129:
x,y ∈ H ⇔ ∀i ∈ I için x
Page 130 and 131:
olacak şekilde bir k ∈ I varsa,
Page 132 and 133:
şeklindedir.⎛1 2 3 4⎞⎛1 2 3
Page 134 and 135:
grubu adı verilmekte veaşağıdak
Page 136 and 137:
Böylece, 2 π radyanlık pozitif y
Page 138 and 139:
3) Ѕ ( σ ) = −1, Ѕ ( τ ) = +
Page 140 and 141:
S = ( fikret )( arzu)( ahmet )( ayn
Page 142 and 143:
5. BÖLÜM. GRUP İZOMORFİZMALARIT
Page 144 and 145:
ye izomorf olacak şekilde belirlem
Page 146 and 147:
6. BÖLÜM. DEVİRLİ GRUPLAR40,2 i
Page 148 and 149:
i j j−ia = a ⇒ a = ebulunur. Ha
Page 150 and 151:
nG ' , mertebesi sonsuz olan bir de
Page 152 and 153:
= Z 18Z18in Alt Gruplarının Latis
Page 154 and 155:
5{ G }{ G }{ G }{ G }6 6 24ν = 5 :
Page 156 and 157:
G 1 = γ 3G 2 G 3 G 4 G 5G 6 ={I}Ö
Page 158 and 159:
8) ( G ,.) devirli bir grup ve G =<
Page 160 and 161:
Teorem 7.2. Zm× Zngrubunun Zmngrub
Page 162 and 163:
{ , }HK = hk | h ∈ H k ∈ Kküme
Page 164 and 165:
elde ederiz. Bu ise H nın bir elem
Page 166 and 167:
Örnek 7.11. Z2× Z4× Z3× Z3× Z5
Page 168 and 169:
sınıfında bulunur. Yani, ∀g
Page 170 and 171:
H = { I, ( 124 ),( 142 )},( ) ( ) (
Page 172 and 173:
Eğer ∀g ∈ G için( )−1 −1
Page 174 and 175:
−1 −1Teorem 8.11. G bir grup ve
Page 176 and 177:
şeklindedir. H alt grubu, G de nor
Page 178 and 179:
9. BÖLÜM. GRUP HOMOMORFİZMALARIT
Page 180 and 181:
dir.{( a, b,3 ) G a b 0}{( a, b,3)
Page 182 and 183:
grubu vegrubudur.1φ −grubunun ç
Page 184 and 185:
Kanıt. Teorem 9.3. deki γ dönü
Page 186 and 187:
olduğundan3195510 = 2⋅3⋅5⋅7
Page 188 and 189:
Tanım 9.13. G bir grup ve p bir as
Page 190 and 191:
O halde Teorem 9.13. e göre G ≅<
Page 192 and 193:
14) Z5× Z5nin birleşim serisini b
Page 194 and 195:
irbirinden farklıdır.Tanım 10.3.
Page 196 and 197:
elde ederiz. Böylece ( A , + ,.) c
Page 198 and 199:
( φϕ)( m, n) = φ( ϕ( m, n)) =
Page 200 and 201:
6) P( A ) , A nın kuvvet kümesi i
Page 202 and 203:
( H, ⊕, ⊙ ) halkasında, ⊕ i
Page 204 and 205:
Örnek 11.5. p bir asal sayı ise Z
Page 206 and 207:
olmak üzere bir i, j çifti için
Page 208 and 209:
1) [ a, b ], [ c, d ] , [ e, f ]
Page 210 and 211:
a) Z4, b) Z4× Z2, c) Z10.9) ( Z6,
Page 212 and 213:
Teorem 12.1. ( H , + ,.) birimli bi
Page 214 and 215:
dönüşümünü tanımlayalım.ϕ(
Page 216 and 217:
şeklinde tanımlı kümenin de H n
Page 218 and 219:
Polinomları gösterirken genellikl
Page 220 and 221:
alacağız. E bir cisim ve F, E nin
Page 222 and 223:
φ x + x − = + − =( 2 6) 2 22 6
Page 224 and 225:
= − | ∈ kümesini göz önüne
Page 226 and 227:
olduğu görülür.2q( x) = x − x
Page 228 and 229:
sf ( x) = ( b + ... + b x )( c + ..
Page 230 and 231:
teoremden dolayı bir asal ideal ol
Page 232 and 233:
Tanım 13.12. Bir D tamlık bölges
Page 234 and 235:
Teorem 13.17. D, Öklid fonksiyonu
Page 236 and 237:
Örnek 13.13. 22471 ile 3266 sayıl
Page 238 and 239:
14. BÖLÜM. CİSİM GENİŞLEMELER
Page 240 and 241:
kümenin τ ( E)nin bir bazı olabi
Page 242 and 243:
şeklindedirler. K nın F ve S yi k
Page 244 and 245:
indirgenemez olduğundan g yi bölm
Page 246 and 247:
olacak şekilde hepsi birden sıfı
Page 248 and 249:
Özellik 15.1. Bir F cismi üstünd
Page 250 and 251:
a + b = ( a1 + b1 ) x1 + ( a2 + b2
Page 252 and 253:
olmak üzere eğer S sonlu sayıda
Page 254 and 255:
Teorem 15.8. Bir V vektör uzayın
Page 256 and 257:
16. BÖLÜM. CEBİRV kümesi, bir F
Page 258 and 259:
ifadesi x,y ∈ I olmasını gerekt
Page 260 and 261:
Tanım 16.6. Bir cebrin bir alt kü
Page 262 and 263:
olduğundan mil = nilelde ederiz.n
Page 264 and 265:
şeklindeki elemanlarının oluştu
Page 266 and 267:
[16] Stewart, C., Galois Theory, Ch
Page 268 and 269:
Bir grubun mertebesi, 115Bir grup s
Page 270 and 271:
n. kuvvet kalanı, 62Normal alt gru
show all

SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?