SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Çözüm. Eğer n tek ise ( n , 2) = 1 olduğundan Teorem 3.7. ye göreϕ(2 n) = ϕ(2) ϕ( n) = 1. ϕ( n) ⇒ ϕ(2 n) = ϕ( n)bulunur. Eğer n çift ise, k tek ve t ≥ 1 bir tamsayı olmak üzere n = 2 t . kt + 1yazabiliriz. Ayrıca ( k, 2 ) = 1 olduğundanϕ = ϕ = ϕ = ϕ ϕt t + 1 t + 1(2 n) (2.2 k) (2 k) (2 ) ( k)t+ t +tdir. ϕ(2 ) = 2 (1 − ) = 2 olduğunu göz önüne alırsak2tϕ(2 n) = 2 ϕ( k)(3.4)buluruz. Öte yandant t t −1ϕ( n) = ϕ(2 . k) = ϕ(2 ) ϕ( k) = 2 ϕ( k)(3.5)1 1 1olduğundan (3.4) ve (3.5) ten ϕ(2 n) ≠ ϕ( n)elde edilir. Şu halde sadecepozitif tek tamsayılar kümesi için istenen sağlanır.Örnek 3.19. 3 | ϕ( n)koşulunu gerçekleyen sonsuz sayıda ϕ ( n)tamsayısınınvar olduğunu gösterelim.αα 1 α −1Çözüm. n = 3 olsun. Bu takdirde ϕ( n) = 3 (1 − ) = 3 .2 yazabiliriz. α > 13alınırsa 3 | ϕ( n)olduğundan ve α nın 1 den büyük her değeri için farklı bir ntamsayısı bulunacağından bu koşula uyan sonsuz sayıda ϕ ( n)vardır.nÖrnek 3.20. ϕ ( n)= koşulunu sağlayan bütün n tamsayılarını bulalım.21 2Çözüm. ... kn = p α1p α2p αkolsun.α 11 α 1 12αkϕ ( n) = p1 (1 − ) p2(1 − )... pk(1 − )p p p1 2kα1 α2α 1 1 1 1 nk= p1 p2... pk(1 − )(1 − )...(1 − ) = n∏(1 − ) =p1 p2pki=1 pi2olduğundankϕ( n) 1 1= ∏ (1 − ) =n i=1 pi2bulunur. Eşitliğin sağlanması p = 2,3,5,7,... asal sayılarından hangisinin⎛ 1 ⎞olması halinde mümkün olur, buna bakalım. Bu asal sayılar için ⎜1−⎟ nin⎝ p ⎠1 2 4 6değeri sırasıyla , , ,2 3 5 7 ,… dir. Bunların herhangibir çarpımının 1 ye eşit2k36