SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Teorem 12.1. ( H , + ,.) birimli bir halka olsun. Bu halkanın bir öz idealininçarpımsal inverse sahip hiçbir elemanı yoktur.Kanıt. N, H nın bir has ideali ve 1, halkanın çarpımsal birimi olsun. Şimdiidealin bir u ∈ N elemanının tersinin var olduğunu kabul edelim ve bu invers1eleman u− 1∈ N olsun. O halde u− ∈ H dır.1u− −∈ H , u ∈ N ⇒ u 1 . u = 1∈Ndir. Ayrıca,∀x∈ H için x.1 = 1. x = xolduğundan( ∀x ∈ H ,1∈ N ) ⇒ x.1 = 1. x = x ∈ Nelde ederiz. Böylece H ⊆ N dir ve N ⊆ H olduğu açık olup sonuç olarakN = H elde ederiz ki bu N nin has ideal oluşu ile çelişir. O haldevarsayımımız yanlıştır.Önerme 12.1. ( Z , + ,.) halkasının her N ideali için N =< a > olacak şekildenegatif olmayan en az bir a tamsayısı vardır.N = 0 ise 0N ≠ 0Kanıt. { }N =< > olduğundan önerme doğrudur. { }olduğunu kabul edelim. m ∈ N ⇒ −m ∈ N dir. Buna göre N pozitif elemanlarasahiptir. N nin pozitif elemanlarının en küçüğünü n ile gösterelim. N idealolduğundan Z nin her elemanının n ile çarpımı N nin bir elemanıdır. Böylece< n >⊆ N bulunur. Diğer yandan, ∀k ∈ N için 0 ≤ r < n olmak üzerek = nq + rolacak şekilde q ve r tamsayıları vardır ve k , nq ∈ N olduğundan r ∈ N dir.N nin pozitif elemanlarının en küçüğü n olduğundan r = 0 olmak zorundadır.Böylece, k ∈ N için k = nq bulunur. O halde N ⊆< n > olduğundanN =< n > bulunur.Teorem 12.2. H birimli bir halka ve N, H nın bir ideali olsun. Eğer N idealiinverslenebilir bir elemana sahip ise o taktirde N = H olmak zorundadır.Kanıt. u ∈ N çarpımsal inverse sahip bir eleman olsun. N, H nın bir idealiolduğundan ∀r ∈ H için rN ⊆ N dir. r = u −1 ve n = u alırsak ∀n ∈ N için−rn ∈ N olacağından u 1 . u = 1∈ N buluruz. Böylece, ∀r ∈ H için r.1= r ∈ Ndir , bu H ⊂ N olması demektir ki, buradan H = N olduğu sonucu çıkar.Sonuç 12.1. Herhangi bir cisim hiçbir has ideale sahip değildir.Tanım 12.2. H ve H ' iki halka olsun. f : H → H ' dönüşümü ∀ a , b ∈ Hiçin1) f ( a + b) = f ( a) + f ( b)206