SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

nφ : G → Z , φ( a ) = ndönüşümünü tanımlayalım. φ bire-bir ve örtendir. Gerçekten,m,n ∈ Z içinma ,namn∈ G ise φ( a ) = φ( a ) ⇒ m = nndir, yani φ bire-birdir. Ayrıca, ∀n∈ Z için φ ( a ) = n olacak şekilde birna∈ G bulunabilir, yani φ örtendir. Diğer taraftan,m n m+n m nφ( a a ) = φ( a ) = m + n = φ( a ) + φ( a )olduğundan φ bir izomorfizmadır.Şimdi tüm grupların kümesini göz önüne alalım ve bu küme üzerinde birdenklik bağıntısını şöyle tanımlayalım. Eğer, G ve G′ grupları arasında birizomorfizma tanımlanabiliyor ise G ≈ G ' yazalım. Böylece aşağıdagöstereceğimiz gibi bütün grupların kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıtanımlarız. Biliyoruz ki bir denklik bağıntısı, üzerinde tanımlandığı kümeyidenklik sınıflarına parçalar. Böylece grupların kümesini, denklik sınıflarınaparçalamış oluruz. Bu sınıflara izomorfizma sınıfları adı verilir;1) G bir grup olsun. G den G üzerine tanımlanan özdeşlik dönüşümünün birizomorfizma olduğu açıktır. O halde G ≈ G dir.2) G ve G′ herhangi iki grup ve φ : G → G ' dönüşümü bir izomorfizmaolsun, böylece G ≈ G ' dür. φ bir izomorfizma olduğundan φ −1 : G ' → Gdönüşümü de bir izomorfizma olur ( gösteriniz! ). Böylece G ' ≈ G dir.3) G, G′ ve G′′ herhangi üç grup ve φ : G → G ', φ ' : G ' → G '' dönüşümlerigrup izomorfizmaları olsun. Yani, G ≈ G ' ve G ' ≈ G '' olsun. O taktirde,φ ' φ bileşke dönüşümü de bir izomorfizma tanımlar ( gösteriniz! ). Buizomorfizma φ '' = φ ' φ : G → G '' şeklinde verilir. O halde, G ≈ G '' eldeederiz. Böylece, bütün grupların kümesi üzerinde yukarıda verilen bağıntınınbir denklik bağıntısı olduğu sonucunu elde ederiz.Örnek 5.2. Mertebesi 1, 2 ve 3 olan gruplar için bir tek denklik sınıfı var iken4. mertebeden gruplar için daha önce gördüğümüz gibi iki tane denklik sınıfımevcuttur. Bu sınıfların temsilcilerini Z4ve V-Klein 4 grubu olarak dahaönce vermiştik.Teorem 5.3. (Cayley Teoremi) Herhangi bir grup, permütasyonların grubununuygun bir alt grubuna izomorftur.Kanıt. Bir G grubu verilsin. Genel olarak G grubu ile G nin elemanlarınınpermütasyonlarının grubu olan γ yi izomorf yapamayız. Çünkü, eğer G ninGmertebesi n ise γGnin mertebesi n! dir. Buna göre, γGnin bir alt kümesini G137