SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

xa+x ∗ a = a ⇒ = a ⇒ xa = 3 a ⇒ x = 3 ∈ Q .+3 a≠0v) Her a ∈ Q ye karşılık, a′∗ a = 3 olacak şekilde bir a′∈ Q vardır:Şu halde ( )a′a9 +a′ ∗ a = 3 ⇒ = 3 ⇒ a′ a = 9 ⇒ a′= ∈ Q .3 a≠0aQ + , ∗ bir komütatif gruptur. 1G = 3 , 1 9a− = dir.aÖrnek 2.4. ( ){ , , }G = Z× Q = a b a ∈ Z b ∈ Q kümesinin−( a, b) ( c, d ) = ( a + c,2 c b + d )şeklinde tanınmlanan “ ” işlemine göre ne tür bir cebirsel yapı olduğunuaraştıralım.⎛⎞−a, b c, d = a + c ,2 c b + d ∈ G⎜ ⎟⎝ ∈Z∈Q⎠Çözüm. ı) Her ( a, b) , ( c,d ) ∈ G için ( ) ( ) ⎜dir.ıı) Her ( a, b) , ( c, d ), ( e,f ) ∈ G için( a, b) ( c, d ) ( e, f ) = ( a, b) ( c, d ) ( e,f )dir.⎡⎣⎤⎦⎡⎣⎤⎦−c⎡⎣( , ) ( , ) ⎤⎦ ( , ) ( ,2 ) ( , )(( ) ( ) ) ( )−e( , ) ⎡( , ) ( , ) ⎤ ( , ) ( , 2 )A = a b c d e f = a + c b + d e f−e −c − ( e+c)−e= a + c + e,2 2 b + d + f = ( a + c + e,2 b + 2 d + f )B = a b ⎣ c d e f ⎦ = a b c + e d + f− ( c+ e)−e( a ( c e),2 b 2 d f )= + + + +olup, Q nun temel özelliklerinden dolayı A = B bulunur.ııı) Her ( a,b)∈ G için ( x, y) ( a, b) = ( a,b)vardır. olacak şekilde bir ( x,y)−( x, y) ( a, b) = ( a, b) ⇒ ( x + a, 2 a y + b) = ( a,b)⎧x + a = a ⇒ x = 0∈Z⎪⇒ ⎨ −a−a2 y + b = b ⇒ 2 y = 0 ⇒ y = 0 ∈ Q−a⎪⎩2 ≠0⇒ , = 0,0 ∈G.( x y) ( )+∈ G114