SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

10. BÖLÜM. HALKA VE CİSİMLERTanım 10.1. H, boş olmayan bir küme ve ⊕ ve ⊙ , H üstünde tanımlı iki ikiliişlem olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa ( H, ⊕, ⊙ ) üçlüsüne bir halka adıverilir;1) ( H, ⊕ ) değişmeli bir gruptur.2) ⊙ işlemi, H üstünde birleşmelidir.3) H da ⊙ işleminin, ⊕ işlemi üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliğivardır.Örnek 10.1. ( Z n, + ) devirli grubu verilsin. x , y ∈ Znise xy nin n ilebölümünden elde edilecek kalanı a.b şeklinde gösterirsek bu durumda( Z , ,.) bir halka oluşturur.n +Teorem 10.1. H, toplamsal birim elemanı 0 olan bir halka ise a,b ∈ Holmak üzere1) 0. a = a.0 = 0 ,2) − b , b nin toplamsal tersi olmak üzere a.( − b) = ( − a). b = − a.b ,3) ( −a).( − b) = a.bözellikleri gerçeklenir.Kanıt.1) a.0 = a(0 + 0) = a.0 + a.0olduğundan a .0 = 0 dır.2) ( a. b) + ( − ( a. b)) = 0 olduğundan,a.( − b) + ( a. b) = a(( − b) + b)) = a.0 = 0elde ederiz.3) ( −a).( − b) = −( a.( − b))= −( − ( a. b))= a.b dir.Tanım 10.2. H ve H ' iki halka ve φ : H → H ' dönüşümü bire-bir ve örtenolsun. Ayrıca1) φ( a + b) = φ( a) + φ( b),2) φ( a. b) = φ( a). φ( b)koşulları sağlanıyorsa φ ye H dan H ' ye bir halka izomorfizması adı verilir.Örnek 10.2. ( Z , + ) ve (2 Z , + ) değişmeli grupları içinφ : Z → 2Z , φ ( x) = 2xdönüşümü bir grup izomorfizması tanımlamasına karşın, ( Z , + ,.) ve (2 Z , + ,.)halkaları arasında bu dönüşüm bir halka izomorfizması tanımlamaz, çünküφ ( x. y) = 2xyve φ( x. y) = φ( x). φ( y) = 2 x.2 y = 4xy187