SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 16.6. Bir cebrin bir alt kümesi aynı zamanda bu cebrin bir alt uzayı vebir alt halkası oluyor ise bu alt küme bir cebir yapısına sahip olur ve ilk cebrinbir alt cebrini tanımlar. Benzer şekilde iki cebir arasında bir dönüşümverildiğinde eğer bu dönüşüm cebirlerin vektör uzayı ve halka yapılarıarasında da bir izomorfizma tanımlıyor ise bu dönüşüm iki cebir arasında dabir izomorfizma tanımlar. Bu durumda bu iki cebire izomorftur deriz.Örnek 16.8. Kuaternionlar cebri adını vereceğimiz H nın cebir işlemi, H nıne , e , e , e olmak üzere baz vektörlerinin çarpma işlemininbir bazı { }1 2 3 4tablosunu aşağıdaki şekilde tanımlamak suretiyle verilir:x e1e2e3e4e1e1e2e3e4e2e2- e 1e4- e 3e3e3- e 4- e 1e2e4e4e3- e 2- e 1Bu cebir, tablodan görülebileceği gibi birleşmelidir, fakat değişmeli değildir.Üstelik kompleks sayılar cebri, bu cebrin bir alt cebrini oluşturur.Şimdi elemanları bir F cisminden seçilen m× n mertebeli⎛ a11 … a1n ⎞⎜⎟A =⋮ ⋱ ⋮⎜ am1a ⎟⎝ ⋯mn ⎠şeklindeki matrisleri göz önüne alalım. Bu matrisi kısaca A = ( a ij) şeklindegösterelim. A = ( a ij) ve B = ( b ij) matrisleri aynı mertebeli olmak üzeretoplamıA + B = ( a + b )şeklinde tanımlanan aynı mertebeli bir matristir. Bir A = ( a ij) matrisinin, Fcisminin bir λ ∈ F elemanı ile çarpımını iseλ A = ( λa ij)şeklinde tanımlarız. Bu iki işlemle birlikte m× n mertebeli bütün matrislerinm nF × kümesi bir vektör uzayı oluşturur. Bu uzayın F cismi üzerindeki mnm nboyutlu vektör uzayına eşdeğer olduğu, herhangi bir A = ( a ) ∈ F × matrisiiçinijijij254