SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

sonucunu elde ederiz.neks n a = n ⇒ n | ϕ( a − 1)( a − 1)Örnek 5.5. ab ≡ 1(mod m)ise a ve b tamsayılarının m modülüne göreeksponentlerinin birbirine eşit olduğunu gösterelim.t1 Çözüm. eks ma = t1, eks mb = t2olsun. O taktirde a ≡ 1(mod m),tb 2≡ 1(mod m)dir.ab ≡ m ⇒ ab ≡ ≡ mt1 t11(mod ) ( ) 1 1(mod )t 1 t 1 t 1≡1⇒ a . b ≡ 1(mod m) ⇒ b ≡ 1(mod m)olduğundan, eksponent tanımından t2 | t1bulunur. Diğer taraftan, benzerşekildet2 t2ab ≡ 1(mod m) ⇒ ( ab) ≡ 1 ≡ 1(mod m)t 2 t 2t 2≡1⇒ a . b ≡ 1(mod m) ⇒ a ≡ 1(mod m)olduğundan, eksponent tanımından t1 | t2bulunur. Buradansonucu elde edilir.t1 | t2,t2 | t1⎫⎬ ⇒ t1 = t2⇒ eksma = eksmbt1 > 0, t2> 0 ⎭Tanım 5.2. a ∈ Z , ( a, m ) = 1 olsun. a nın m modülüne göre eksponenti ϕ ( m)ise a ya m modülüne göre bir primitif ( ilkel ) kök denir.Örnek 5.2. ye göre 7 nin , 23 modülüne göre bir primitif kök olduğunusöyleyebiliriz. Çünkü, eks237 = 22 = ϕ(23)tür.Örnek 5.6. 41 modülüne göre bir primitif kök bulalım.Çözüm. a, 41 modülüne göre bir primitif kök olsun. Bu taktirde eks41a = 40olmalıdır. 41 ile aralarında asal olan bütün pozitif tamsayılar primitif kökadayıdır. Şu halde (2, 41) = 1 olduğundan 2 nin 41 modülüne göre bir primitif3kök olup olmadığını araştıralım. ϕ (41) = 40 = 2 .5 olduğundan 2 nin 41modülüne göre eksponenti 40 ın bölenleri, yani 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 ve 40olabilir.12 ≢ 1(mod 41) ,22 ≡ 4 ≢ 1(mod 41) ,42 ≡ 16 ≢ 1(mod 41) ,56