SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

φ x + x − = + − =( 2 6) 2 22 6 022olduğundan x + x − 6 , φ2nin N çekirdeğine ait bir polinomdur. Gerçekte N,f ( x) ∈ Q [ x]olmak üzere ( x − 2) f ( x)şeklindeki polinomların oluşturduğuhalkanın bir idealidir. φ2dönüşümü altında Q [ x]in resmi Q ile Q [ x]Nbölüm halkası, doğal şekilde izomorfturlar.Örnek 13.4. F = Q ve E = C olsun.φ : Q[ x]→ Ciφ ( a + a x + ... + a x ) = a + a . i + ... + a . inni 0 1 n 0 1ndönüşümünü tanımlayalım. Bu dönüşüm bir homomorfizmadır ve φi( x)= i2 22dir. φi( x + 1) = i + 1 = 0 olduğundan x + 1 , φinin çekirdeği olan N içinde2bulunur. Burada yine N çekirdeği, f ( x) ∈ Q [ x]olmak üzere ( x + 1) f ( x)φidönüşümüQ x N bölüm halkası, doğal şekildeşeklindeki polinomların oluşturduğu halkanın bir idealidir.altında [ x]Q in resmi Q ile [ ]izomorfturlar. Üstelik, φi( Q [ x])halkası q1 , q2∈ Q olmak üzere q1 + iq2şeklindeki komleks sayıların kümesidir ve bu küme, C kompleks sayılarcisminin bir alt cismidir.Bir polinom denklemi çözmek demek o polinomun sıfırlarını bulmakdemektir. Buna göre aşağıdaki tanımı yapabiliriz.Tanım 13.2. E bir cisim, F de E nin bir alt cismi ve a ∈ E olsun. F[ x ] de birnf ( a) = a + a x + ... + a x polinomunu ve0 1nφ : F[ x] → E,αnφ ( f ( x)) = f ( α ) = a + a α + ... + a αα0 1nhomomorfizmasını göz önüne alalım. Eğer f ( α ) = 0 ise α ya F[ x ] in birsıfırı adı verilir.2Bu tanıma göre r + r − 6 = 0 şeklinde bir polinom denklemin veya kısacabir denklemin gerçel çözümlerini bulmak şeklindeki ifade yerine, F = Q veE = R alarakφ x + x − = olacak şekildeki α ∈ R leri bulmak veya2α( 6) 02kısaca x + x − 6 nın R deki sıfırlarını bulmak şeklindeki ifadeyi benimseriz.Tabiidir ki her iki durumda çözüm aynı, yani216