SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Teorem 3.3. k, a, b,m ∈ Z ; 0m > , k 0( mod m)≡ , ( k, m)= d vemka ≡ kb(mod m)olsun. O taktirde a ≡ b(mod ) dir.dKanıt. ka ≡ kb(mod m)ise m | ( ka − kb) = k( a − b)dir. Böylece k( a − b)= muolacak şekilde bir u ∈ Z vardır. ( k, m)= d olduğundan d | m , d | k dır. Şuhalde, m = m ' d,k = k ' d olacak şekilde m ' , k ' ∈ Z tamsayıları vardır ve butamsayılar aralarında asaldır, yani ( k ', m ') = 1 dir. m ve k nın bu değerleriyukarıda yerine yazılırsa k ' d( a − b) = m'du veya buradan m ' | k '( a − b)sonucu elde edilir. Bu sonuçtan ( k ', m ') = 1 olduğunu da dikkate alırsakTeorem 1.6. yı kullanarak m ' | ( a − b)buluruz. Bu ise a ≡ b(mod m')veyama ≡ b(mod ) demektir.dSonuç: ka ≡ kb(mod m), ( k, m ) = 1 ise a ≡ b(mod m)dir.Teorem 3.4. f ( x ) , katsayıları tamsayılar olan bir polinom fonksiyon vea ≡ b(mod m)olsun. Bu takdirde f ( a) ≡ f ( b)(mod m)dir.Kanıt.bulunur.njf ( x)= ∑ c x olsun. Teorem 3.2. denj=0Örnek 3.1. a,b ∈ Z ; d,mjj ja ≡ b(mod m) ⇒ a ≡ b (mod m)( j = 0,1,..., n)j j⇒ c a ≡ c b (mod m)( j = 0,1,..., n)⇒jnnj∑ j≡∑j= 0 j=0jjc a c b (mod m)⇒ f ( a) ≡ f ( b)(mod m)+∈ Z ve a ≡ b(mod m)Çözüm. a ≡ b(mod m)ise m | ( a − b)dir.yani a ≡ b(mod d)dir.d | m ⎫⎬ ⇒ d | ( a − b),m | ( a − b)⎭j, d | m ise a ≡ b(mod d)dir.23