SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Z ün bir tek öz alt grubu { 0,2 } dir. Diğer taraftan { }4grubu değildir. Çünkü,0,3 , Z4ün bir öz alt3 + 3 = 2 ∉ { 0,3}dır. V-Klein 4 grubunun öz alt grupları ise { e, a } , { e, b },{ , }taraftan { e, a,b } , V-Klein 4 grubunun bir öz alt grubu değildir. Çünkü,a b = c ∉{ e, a,b}e c dir. Diğerdir. Şimdi H ≤ G ve a ∈ H olsun. ax = a denklemi H da tek bir çözümesahip olduğundan bu çözüm x = e dir. O halde e ∈ H olmak zorundadır.Benzer şekilde ax = e denklemi bir tek çözüme sahiptir ve bu çözüm−1x = a ∈ H dır. Bu incelemeye göre Z4ve V-Klein 4 gruplarının alt gruplardiagramı diğer bir ifade ile latis şeması aşağıdaki şekilde elde edilir.Z|4{ 0,2}|{ 0}V/ | \{ e, a} { e, b} { e,c}|\ /{ e}Teorem 3.1. G bir grup ve H, G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. H ≤ Golması için gerek ve yeter koşul;1) H, G deki grup işlemine göre kapalı,12) ∀a ∈ H ise a− ∈ Holmasıdır.Bu teoremi aşağıdaki bir tek koşul ile de ifade edebiliriz, şöyleki;−1“ H ⊂ G , ∀a,b ∈ H için a ∗b ∈ H ise H ≤ G dir.”Gerçekten ∀a, b,c ∈ H için H ⊂ G olduğundan a, b,c ∈ G dir ve G birgrup olduğundan birleşme özelliği vardır, böylecea( bc) = ( ab)cdir, benzer düşünce ile diğer grup koşullarının sağlandığı da görülebilir.Örnek 3.4. Bir ( G, ∗ ) grubunun alt gruplarının ailesi, I doğal sayılarkümesinde bir indis kümesini göstermek üzere, ( H , ∗ ) olsun. O taktirde,( ∩ H , ∗)cebirsel yapısı da, ( G, ∗ ) grubunun bir alt grubudur. Gerçekten,i∈Iii∈ IHi=∩ H dersek H ⊆ G ve H ≠ ∅ dir. Diğer taraftan,ii∈I121