SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

olduğu görülür. Diğer yandan p αbölenlerikullanılarakelde edilir.21, , ,...,Teorem 8.5. i) σ ( 1)= 1,( p asal, α ∈ Z )p αp p p α dır. Şu halde ( ) 1( n) = ( + 1)( + 1 )...( + 1)1 2ττ α α αr+tamsayının pozitif= α + dir. Bu eşitlikα α α1 2ii) n pozitif tamsayısının kanonik gösterilişi1 2 ... rn = p p p r isedir.Kanıt. i) σ ( )σ( n)1 = 1 olduğu açıktır.=r∑i=1αi+ 1ipi−1p −1ii) σ ( n)fonksiyonunun çarpımsal olduğu kullanılarak indüksiyon ileα( ) ( 1 ) ( ) ( )1 α2 2 αrn p p ... p rσ = σ σ σ(8.2)bulunur. Diğer yandan p α+( p asal, α ∈ Z ) tamsayısının pozitif bölenleri21, p, p ,..., p α olup, bunların toplamlarıα( )α + 1−α p 1σ p = 1 + p + ... + p =p −1olur. Bu eşitlik (8.2) de kullanılarak teoremin ispatı tamamlanır.Tanım 8.4. n bir pozitif tamsayı olmak üzere⎧ 1 , n = 1 ise,⎪2µ ( n)= ⎨0 , a | n olacak şekilde bir a > 1 tamsayısı varsa,⎪ r⎪⎩ ( − 1 ) , n = p1 p2...p r ( piler farklı asal sayılar )şeklinde tanımlanan µ ( n)fonksiyonuna Moebius fonksiyonu ( Möbius )denir.Örnek 8.4. µ ( n)fonksiyonunun çarpımsal olduğunu gösterelim.Çözüm. ( n1 , n2) = 1 için µ ( n1 . n2 ) = µ ( n1 ). µ ( n2) olmalıdır. ( n1 , n2) = 1 ise n1ve n 2nin kanonik gösterilişlerindeki asal sayılar birbirinden tamamen farklıdır.104