SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

3 7 3 3⇒ ((3 ) ) ≡ 3 ≡ 7(mod10)bulunur. Bu şekilde devam edilirse eşdeğerliği, kuvvet 3 iken sonuç 7, kuvvet7 iken sonuç 3 olarak buluruz. Bu nedenle son kuvvetin 3 veya 7 oluşuna göresonucu iki seçenekli olarak buluruz. O halde yanıt 3 veya 7 olur.Örnek 3.16. p bir asal sayı ve a,b ∈Z olsun. Bu taktirdep p p( a + b) ≡ a + b (mod p)dir. Bu ifade genel olarak h1 , h2,..., hntamsayılar ve p bir asal sayı olmak üzerep p p p( h1 + h2 + ... hn) ≡ h1 + h2+ ... + hn(mod p)şeklinde yazılabilir ve kanıtı tümevarım yoluyla yapılabilir.Çözüm. Binom açılımındanp p ⎛ p ⎞ p pp−1 ⎛ ⎞ p−2 2 ⎛ ⎞ p−1p( a + b) = a + ⎜ ⎟ a b + ⎜ ⎟ a b + ... + ⎜ ⎟ ab + b⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ p −1⎠yazabiliriz, burada⎛ p ⎞ p! p( p −1)...( p − i + 1)⎜ ⎟ = = = s , 1 ≤ i ≤ p − 1⎝ i ⎠ ( p − i)!. i! i!şeklinde olup s ile gösterilmiştir. Böylece,p( p −1)...( p − i + 1) = i!. s ⇒ p | i!.sve p |/ i!dir. Çünkü 1 ≤ i ≤ p −1olduğundan ( p, i) = 1 ⇒ ( p, i!) = 1dir. Şuhalde Aritmetiğin Esas Yardımcı Teoremine göre p | s buluruz. Böylece p,yukarıdaki binom açılımındaki bütün katsayıları bölmektedir. O halde,⎛ p ⎞1 ≤ i ≤ p − 1 aralığındaki her i için ⎜ ⎟ ≡ 0(mod p)olacağından açılımın⎝ i ⎠bütün katsayıları 0 a eşdeğer olur ve buradanp p p( a + b) ≡ a + b (mod p)elde edilir.Örnek 3.17. ( n ,7) = 1 isen12− 1 sayısının 7 ile bölündüğünü gösterelim.Çözüm. ( n ,7) = 1 olduğundan 7 |/ n dir. O halde Fermat Teoremine görebulunur.n≡ 1(mod 7) ⇒ n ≡ 1(mod 7)ϕ (7) 612 6 2⇒ n ≡ ( n) ≡ 1(mod 7)≡112 12⇒ n ≡ ⇒ | n −1(mod 7) 7 1Örnek 3.18. ϕ(2 n) = ϕ( n)koşulunu gerçekleyen n pozitif tamsayılarınıbulalım.35