SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

( ) mn mn mn ( m ) n ( n ) m n mab = a b = a b = e e = e= e = ebuluruz. Böylece ab ∈ T dir. Diğer taraftan, e ∈ T olduğu açıktır ve bir a ∈ Tmiçin a = e yazabiliriz. O halde,m −1 m m −1 m −1 m −1me = e = ( aa ) = a( a ) = e( a ) = ( a )= e1olacağından a− ∈ T dir. T ⊂ G olduğundan T birleşmelidir, dolayısıyla T, Gnin bir alt grubudur.Örnek 7.8. Sonlu her grup bir torsiyon grubudur.Örnek 7.9. ( Z , + ) grubu bir serbest gruptur.Örnek 7.10. Z×Z2bir torsiyon grubu değildir. Çünkü, (0,1) elemanı 2.mertebedendir ama (1,0) elemanı sonlu mertebeli değildir. Diğer taraftan,{(0,0),(0,1)}T = kümesi Z×Z2nin bir torsiyon alt grubunu tanımlar.Şimdi aşağıdaki önemli teoremleri ifade edeceğiz.Teorem 7.8. Sonlu üretilmiş değişmeli her grup, biri torsiyon diğeri serbestiki alt grubunun kartezyen çarpım grubu olarak ifade edilebilir. Eğer G, sonluüretilmiş değişmeli bir grup, T ve S de G nin biri torsiyon diğeri serbest olaniki alt grubu ise o taktirde G = T × S yazılabilir.Teorem 7.9. S, sonlu üretilmiş serbest bir değişmeli grup iseS = Z× Z× ... × Zm defaolacak şekilde bir m pozitif tamsayısı vardır. Bu m tamsayısı tektir veliteratürde S nin Betti Sayısı olarak adlandırılır.Teorem 7.10. G, sonlu üretilmiş değişmeli bir grup ise G yi devirli gruplarınbir kartezyen çarpımı olarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:1) pi, 1 ≤ i ≤ n , ler birbirinden farklı olması gerekmeyen asal sayılar olmaküzere( ) r1 ( ) r2... ( ) rnG = Z × Z × × Z × Z × ... × Zp1 p2pndir.2) 1 ≤ i ≤ n olmak üzere ∀ i için mi| mi + 1olsun. Bu durumdaG = Z × Z × ... × Z × Z × ... × Zm1 m2m nyazabiliriz. Buradaki m sayılarına G nin torsiyon sayıları adı verilir.i159