SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

5. BÖLÜM. PRİMİTİF (İLKEL) KÖKLER VE İNDEKSLERγTanım 5.1. m bir pozitif tamsayı, a ∈ Z ve ( a, m ) = 1 olsun. a ≡ 1(mod m)koşulunu gerçekleyen en küçük pozitif γ tamsayısına a nın m modülüne göreeksponenti ( mertebesi ) adı verilir ve eks ma= γ şeklinde gösterilir.Bu koşulu gerçekleyen γ lar vardır. Çünkü γ = ϕ( m)için EulerTeoremine göreaϕ ( m)≡ 1(mod m)dir.Örnek 5.1. 2 nin 5 modülüne göre eksponentini bulalım.Çözüm. (2,5) = 1 olduğundan Fermat Teoremine göredir.12 = 2 ≡ 1 mod 5 ,( )( )( )( )= ≡ ,22 4 1 mod5= ≡ ,32 8 1 mod5= ≡42 16 1 mod5≡ ≡ϕ (5) 42 2 1(mod 5)olduğundan 2 nin 5 modülüne göre eksponenti 4, yani eks52 = 4 tür.Teorem 5.1. Bir a tamsayısının m modülüne göre eksponenti δ olsun. Bu0 1 1takdirde 1 = a , a ,..., a δ − sayıları m modülüne göre inkongrüenttir.Kanıt. 0 ≤ k < l < δ olmak üzere k la ≡ a (mod m)olduğunu kabul edelim.( m, a ) = 1 olduğundan kısaltma yaparakal −k≡ 1(mod m)bulunur. Ayrıca 0 < l − k < δ olduğundan bu, δ nın eksponent oluşu ile0 1 1çelişir. Şu halde a , a ,..., a δ − sayıları m modülüne göre inkongrüenttir.Teorem 5.2. a nın m modülüne göre eksponenti δ olsun. Bu taktirdeγ γa ≡ a ' (mod m)ise γ ≡ γ '(mod δ ) dır.Kanıt. γ ve γ ' yü , δ ile kalanlı olarak bölelim. q, r, q′ , r′∈ Z olmak üzereγ = δ q + r , 0 ≤ r < δ ve γ ' = δ q ' + r ' , 0 ≤ r ' < δyazabiliriz. exp ma = δ olduğundan aδ ≡ 1(mod m)dir. Buradanveγ δ q r ra ≡ ( a) . a ≡ a (mod m)≡1γ ' δ q ' r ' r 'a ≡ ( a) . a ≡ a (mod m)≡152