SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 5.3. a ∈ Z , ( a, m ) = 1 ve g de m modülüne göre bir primitif kökolsun.jg ≡ a(mod m)koşulunu gerçekleyen en küçük pozitif j tamsayısına a nın g primitif kökünegöre indeksi denir ve ind ga şeklinde yazılır.Tanım 5.3. ten j nin 0 ≤ j ≤ ϕ( m)koşulunu gerçeklediği açıktır.Örnek 5.8. p = 13 modülüne göre bir primitif kök bulalım ve bu kökükullanarak indeks tablosu yapalım.Çözüm. Daha önce verdiğimiz tabloda 13 modülüne göre, 2 nin bir primitifkök olduğunu belirtmiştik.12 ≡ 2 ,72 ≡ 11 ,22 ≡ 4 ,82 ≡ 9 ,32 ≡ 8 ,92 ≡ 5 ,42 ≡ 3 ,102 ≡ 10 ,52 ≡ 6 ,112 7kongrüanslarından yararlanarak, 13 modülüne göre62 ≡ 12 ,12≡ , 2 ≡ 1( mod13)2 x ≡ 1 , 2 x ≡ 2 , 2 x ≡ 3 , 2 x ≡ 4 , 2 x ≡ 5 , 2 x ≡ 6 ,2 x ≡ 7 , 2 x ≡ 8 , 2 x ≡ 9 , 2 x ≡ 10 , 2 11 2 x ≡ 12 mod13x ≡ , ( )kongrüanslarının en küçük pozitif tamsayı çözümleri sırasıyla12, 1, 4, 2, 9, 5, 11, 3, 8, 10, 7, 6olduğundanind21 = 12 , ind22 = 1 , ind23 = 4 , ind24 = 2 ,ind25 = 9 , ind26 = 5 , ind27 = 11 , ind28 = 3,ind29 = 8 , ind210 = 10 , ind211 = 7 , ind212 = 6dır. Bunu tablo ile aşağıdaki gibi yazabiliriz.a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12ind2a 12 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6Teorem 5.9. g , m tamsayısının bir primitif kökü iseug ≡ a mod m ⇔ u = ind a mod ϕ( m)dir.( ) ( )g60